数学建模-三级火箭发射卫星

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1、大学生数学建模承诺书我们仔细阅读了数学建模的规则.我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的,如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。如有违反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。所属班级（请填写完整的全名）：09级数学与应用数学班队员(

2、打印并签名)：1.王茜2.丁*燕3.毕瑞4.李*洋5.王*彬小组负责人(打印并签名)：李*洋日期：2012年5月1日10赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：题目：三级火箭发射人造卫星分析摘要：火箭是一个非常复杂的系统，本文主要从卫星的速度因素着手，忽略一些次要因素将问题简化，再利用所学物理学知识建立数学模型，得出火箭飞行速度与其初始质量和飞行过程中的质量关系，进而分析得出结论。关键词：卫星发射牛顿定律三级火箭动能守恒万有引力定律一、问题重述建立一个模型说明要用三级火箭发射人造卫星的道理。（1）设卫星绕地

3、球做匀速圆周运动，证明其速度为，为地球半径，为卫星与地心距离，为地球地面重力加速度。要把卫星送上离地面600km的轨道，火箭末速度应为多少？（2）设火箭飞行中速度为,质量为,初速度为零，初始质量为,火箭喷出的气体相对于火箭的速度为，忽略重力和阻力对火箭的影响。用动量守恒原理证明。由此你认为要提高火箭的末速度应采取什么措施？（3）火箭质量包括3部分：有效载荷（卫星）；燃料；结构（外壳、燃料舱等），其中在中的比例计作，一般不小于10%。证明若=0（即火箭不带卫星），则燃料用完时火箭达到的最大速度为。已知目前的，取，

4、求。这个结果说明什么？（4）假设火箭燃料燃烧的同时，不断丢弃无用的结构部分，即结构质量与燃料质量以和的比例同时减少，用动量守恒原理证明。问燃料用完时火箭末速度为多少？与前面的结果有何不同。（5）（4）是个理想化的模型，实际上只能用建造多级火箭的办法一段段地丢弃无用的结构部分。计为第级火箭质量（燃料和结构部分），为结构质量（10对各级是一样的）。有效载荷仍用表示。当第1级的燃料用完时丢弃第1级的结构，同时第2级点火。再设燃烧级的初始质量与其负载质量之比保持不变，比例系数为。证明3级火箭的末速度。计算要，发射1吨重

5、的卫星需要多重的火箭（，用以前的数据）。若用2级火箭或4级火箭，结果如何？由此得出使用3级火箭发射卫星的道理。二、符号说明及基本假设1.符号说明——地球半径——地球质量——卫星轨道半径——卫星质量——引力常数——时刻火箭质量——时刻火箭速度——火箭有效负载——火箭燃料质量——火箭结构质量——火箭喷出的气体相对于火箭的速度——第级火箭质量：燃烧级的初始质量与其负载质量的比例系数2基本假设(1)卫星轨道是以地球中心为圆心的某个平面上的圆周，卫星在此轨道上以地球引力作为向心力绕地球作平面匀速圆周运动。(2)地球是固定

6、于空间中的一个均匀球体，其质量集中于球心。(3)其它星球对卫星的引力忽略不计。(4)火箭在喷气推动下作直线运动，火箭所受的重力和空气阻力忽略不计(5)在时刻火箭质量为，速度为，且均为时间的连续可微函数；(6)从火箭末端喷出气体的速度（相对火箭本身）为常数。(7)初速度忽略不计，即。10(8)设各级火箭具有相同的，表示第级结构质量，表示第级的燃料质量。(9)喷气相对火箭的速度相同，燃烧级的初始质量与其负载质量之比保持不变，记该比值为(10)假设火箭的结构、外形与控制等问题能满足保证火箭正常运行的需要三、问题分析1

7、．问题1的分析问题1实际上就是利用天体物理学中牛顿第二定律和万有引力定律推到出第一宇宙速度的过程。2．问题2的分析问题2主要是为了找出影响火箭升空速度的主要影响因素。可利用动能守恒定律找出等式关系，之后求解。3．问题3的分析本问题主要是了建立当卫星脱离火箭后，火箭末速度的数学模型，为下一步的探究做铺垫。4．问题4的分析问题4是一个理想化的火箭模型，就是让火箭能够随着燃料的燃烧不断抛弃火箭的无用结构。5．问题5的分析通过探究多级火箭模型的状况，通过对比得出三级火箭发射卫星的优点。四、模型的建立与求解1、问题（1）

8、的模型建立与求解由牛顿万有引力定律可知卫星受到地球的引力大小为：（1）其中G为引力常数。为消去常数G，把卫星放在地球表面，则由（1）式得再代入（1）式，得（2）10其中为重力加速度。根据假设，若卫星围绕地球作匀速圆周运动的速度为，则其向心力为，因为卫星所受的地球引力就是它作匀速运动的向心力，故有由此便推得卫星距地面为()km，必须的最低速度的数学模型为（3）取=6400km，，代入上式