备战2018年高考数学 解答题高分宝典 专题05 解析几何（核心考点）理

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1、专题05解析几何核心考点一直线与圆锥曲线的位置关系直线与圆锥曲线的位置关系是圆锥曲线中的重要问题,也是高考考查的热点,研究此类一般要用到方程思想,常见类型为交点个数、切线、弦长、对称等问题.【经典示例】在直角坐标系xOy中,直线l：y＝t(t≠0)交y轴于点M,交抛物线C：y2＝2px(p>0)于点P,M关于点P的对称点为N,连接ON并延长交C于点H.(1)求；(2)除H以外,直线MH与C是否有其他公共点？说明理由．答题模板解决直线与圆锥曲线的位置关系的一般步骤第一步,联立方程,得关于x或y的一元二次方程；第二步,写出根与系数的关系,并求出Δ>0时参数范围(或指出直线过曲

2、线内一点)；第三步,根据题目要求列出关于x1x2,x1＋x2(或y1y2,y1＋y2)的关系式,求得结果；第四步,反思回顾,查看有无忽略特殊情况.【满分答案】(1)由已知得M(0,t),P,又N为M关于点P的对称点,故N,ON的方程为y＝x,代入y2＝2px整理得px2－2t2x＝0,解得x1＝0,x2＝,因此H.所以N为OH的中点,即＝2.(2)直线MH与C除H以外没有其他公共点,理由如下：直线MH的方程为y－t＝x,即x＝(y－t)．代入y2＝2px得y2－4ty＋4t2＝0,解得y1＝y2＝2t,即直线MH与C只有一个公共点,所以除H以外直线MH与C没有其他公共点．

3、【解题技巧】1.将直线方程与圆锥曲线方程联立,消去一个变量得到关于x(或y)的一元方程：ax2＋bx＋c＝0(或ay2＋by12＋c＝0)．若a≠0,可考虑一元二次方程的判别式Δ,有①Δ>0⇔直线与圆锥曲线相交；②Δ＝0⇔直线与圆锥曲线相切；③Δ<0⇔直线与圆锥曲线相离．2.判断直线与圆锥曲线的交点个数时,可直接求解相应方程组得到交点坐标,也可利用消元后的一元二次方程根的判别式来确定,需注意利用判别式的前提是二次项系数不为0.3.依据直线与圆锥曲线的交点个数求参数时,联立方程并消元,得到一元方程,此时注意观察方程的二次项系数是否为0,若为0,则方程为一次方程；若不为0,则

4、将方程解的个数转化为判别式与0的大小关系求解．4.设斜率为k(k≠0)的直线l与圆锥曲线C相交于A(x1,y1),B(x2,y2)两点,则

5、AB

6、＝

7、x2－x1

8、＝

9、y2－y1

10、.5.有关圆锥曲线弦长问题的求解方法涉及弦长的问题中,应熟练的利用根与系数的关系、设而不求法计算弦长；涉及垂直关系时也往往利用根与系数的关系、设而不求法简化运算；涉及过焦点的弦的问题,可考虑用圆锥曲线的定义求解．6.处理中点弦问题常用的求解方法(1)点差法：即设出弦的两端点坐标后,代入圆锥曲线方程,并将两式相减,式中含有x1＋x2,y1＋y2,三个未知量,这样就直接联系了中点和直线的斜率,借用中点

11、公式即可求得斜率．(2)根与系数的关系：即联立直线与圆锥曲线的方程得到方程组,化为一元二次方程后,由根与系数的关系求解．(3)解决对称问题除掌握解决中点弦问题的方法外,还要注意：如果点A,B关于直线l对称,则l垂直直线AB且A,B的中点在直线l上的应用．模拟训练1．已知点P是圆O：x2＋y2＝1上任意一点,过点P作PQ⊥y轴于点Q,延长QP到点M,使＝.(1)求点M的轨迹E的方程；(2)过点C(m,0)作圆O的切线l,交(1)中曲线E于A,B两点,求△AOB面积的最大值．12(2)由题意可知直线l不与y轴垂直,故可设l：x＝ty＋m,t∈R,A(x1,y1),B(x2,y

12、2)．∵l与圆O：x2＋y2＝1相切,∴＝1,即m2＝t2＋1.①联立消去x,得(t2＋4)y2＋2mty＋m2－4＝0.其中Δ＝(2mt)2－4(t2＋4)(m2－4)＝16(t2－m2)＋64＝48>0.∴y1＋y2＝－,y1y2＝.②∴

13、AB

14、＝＝＝.将①②代入上式得

15、AB

16、＝＝,

17、m

18、≥1,∴S△AOB＝

19、AB

20、·1＝×＝≤＝1,当且仅当

21、m

22、＝,即m＝±时,等号成立．∴(S△AOB)max＝1.核心考点二圆锥曲线中的定点、定值问题以直线与圆锥曲线为载体,结合其他条件探究直线或曲线过定点,或与动点有关的定值问题,一般常出现在解答题第二问中,难度多为中等.【经典示例

23、】已知椭圆＋＝1(a>0,b>0)过点(0,1),其长轴、焦距和短轴的长的平方依次成等差数列．直线l与x轴正半轴和y轴分别交于点Q、P,与椭圆分别交于点M、N,各点均不重合且满足＝λ1,＝λ2.(1)求椭圆的标准方程；(2)若λ1＋λ2＝－3,试证明：直线l过定点并求此定点．答题模板证明直线过定点的步骤：第一步,设出直线方程为(或)；.12第二步,证明(或)；.第三步,确定直线过点(或).【满分答案】(1)设椭圆的焦距为2c,由题意知b＝1,且(2a)2＋(2b)2＝2(2c)2,又a2＝b2＋c2,∴a2＝3.∴椭圆的方程为