利用导数解决实际问题

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1、重点难点重点：利用导数解决实际问题中的优化问题难点：如何建立数学模型，借助导数求最值知识归纳利用导数解决实际问题中的最值的一般步骤(1)分析实际问题中各量之间的关系，找出实际问题的数学模型，写出实际问题中变量之间的函数关系式y＝f(x)；(2)求函数的导数f′(x)，解方程f′(x)＝0；(3)比较函数在区间端点和极值点的函数值大小，最大(小)者为最大(小)值．误区警示(1)在求实际问题的最大(小)值时，一定要注意考虑实际问题的意义，不符合实际意义的值应舍去．(2)在实际问题中，有时会遇到函数在区

2、间内只有一个点使f′(x)＝0的情形，如果函数在这点有极大(小)值，那么不与端点值比较，也可以知道这就是最大(小)值．(3)生活中，经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题，这些问题通常称为优化问题．在解决实际优化问题中，不仅要注意将问题中涉及的变量关系用函数关系式给予表示，还应确定函数关系式中自变量的定义区间．某工厂设计一个密闭容器，下部是圆柱体形，上部是半球形，容积为常数V，当圆柱的底半径r与高h为何值时，制造这个容器的用料最省？[例2]某集团为了获得更大的利益，每年要投入一定的资金用于广

3、告促销．经调查，每年投入广告费t(百万元)可增加销售额约为－t2＋5t(百万元)(0≤t≤5)(1)若该公司将当年的广告费控制在三百万元之内，则应投入多少广告费，才能使该公司由此获得的收益最大？解析：(1)设投入t(百万元)的广告费后增加的收益为f(t)(百万元)，则有f(t)＝(－t2＋5t)－t＝－t2＋4t＝－(t－2)2＋4(0≤t≤3)，∴当t＝2百万元时，f(t)取得最大值4百万元．即投入2百万元的广告费时，该公司由此获得的收益最大．故g(x)在[0,2]上是增函数，在[2,3]上是减

4、函数．所以当x＝2时，g(x)取最大值，即将2百万元用于技术改造，1百万元用于广告促销，该公司由此获得的收益最大．[例3]　如图所示，有一块半椭圆形钢板，长半轴长为2r，短半轴长为r，计划将此钢板切割成等腰梯形的形状，下底AB是半椭圆的短轴，上底CD的端点在椭圆上，记CD＝2x，梯形面积为S.(1)求面积S关于自变量x的函数式，并写出其定义域；(2)求面积S的最大值．已知矩形的两个顶点位于x轴上，另两个顶点位于抛物线y＝4－x2在x轴上方的曲线上，则矩形的面积最大时，矩形的边长为________．

5、[例4]苏南某城市在发展过程中，交通状况逐渐受到大家更多的关注．据有关统计数据显示，从上午6点到中午12点，车辆通过该市某一路段的用时y(分钟)与车辆进入该路段的时刻t之间的关系可近似地用如下函数给出：分析：如图，设BC为海岸线，A为渔艇停泊处，设D为海岸线上一点，CD＝x，只需将时间T表示为x的函数，即可确定登岸的位置．[答案]C[答案]C(理)(2010·山东济南市模考)直线y＝kx＋b与曲线y＝x3＋ax＋1相切于点(2,3)，则b的值为()A．－3B．9C．－15D．－7[答案]C[解析]

6、将点(2,3)分别代入曲线y＝x3＋ax＋1和直线y＝kx＋b，得a＝－3,2k＋b＝3.又k＝y′

7、x＝2＝(3x2－3)

8、x＝2＝9，∴b＝3－2k＝3－18＝－15，故选C.[答案]B二、填空题4．某工厂要围建一个面积为128m2的矩形堆料场，一边可以用原有的墙壁，其它三边要砌新的墙壁，要使砌墙所用的材料最省，堆料场的长、宽应分别为________．[答案]16m8m5．(文)在周长为l的矩形中，面积的最大值为________．(理)面积为S的矩形中，其周长最小的矩形边长是______．三、

9、解答题6．已知某厂生产x件产品的成本为c＝25000＋200x＋x2(元)．(1)要使平均成本最低，应生产多少件产品？(2)若产品以每件500元售出，要使利润最大，应生产多少件产品？当在x＝1000附近左侧时，y′<0；在x＝1000附近右侧时，y′>0；故当x＝1000时，y取得极小值．由于函数只有一个极小值点，那么函数在该点取得最小值，因此要使平均成本最低，应生产1000件产品．由于函数只有一个使L′＝0的点，且函数在该点有极大值，那么函数在该点取得最大值．因此，要使利润最大，应生产6000件

10、产品．请同学们认真完成课后强化作业[答案]B2．某商品一件的成本为30元，在某段时间内若以每件x元出售，可卖出(200－x)件，要使利润最大每件定价为________元．[答案]853．已知函数f(x)＝－x3＋ax2－4在x＝2处取得极值，若m、n∈[－1,1]，则f(m)＋f′(n)的最小值是______．[答案]－13[分析]由f(x)在x＝2处取得极值，可知f′(2)＝0，于是可求得a的值，∵m∈[－1,1]，∴可利用f(x)在[－1,1]上的单调性求得f(m)的最小值；由