人教a版必修4 向量加法运算及其几何意义 学案

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2、，即a+b=+=.(1)利用向量加法的三角形法则求两个向量的和如图2-2-1(1)、(2)、(3)中，=a，=b，则+=.图2-2-1图2-2-1的(1)、(2)、(3)中各有两个向量，只要把其中一个向量的起点平移，使之与第二个向量的终点重合，则从第一个向量的起点指向第二个向量终点的向量，就是两个向量的和向量.(2)向量加法的三角形法则适用的范围及应用①三角形法则对于两个向量共线时也适用.对于零向量，课本规定a+0=0+a=a(a≠0)，我们可利用三角形法则，通过几何作图法作出a+0,0+a,a，观

3、察结果，去认识规定的合理性.图2-2-2②任何一个向量均可以写成两个任意向量之和，只要注意到这个向量的起点、终点即可，如：=+，如图2-2-2所示，这里的O点具有任意性.学法一得对于首尾相连的两个向量的和，等于以第一个向量的起点为起点，以第二个向量的终点为终点的向量，这就是向量加法的三角形法则的几何意义.记忆要诀不管平面内的点O选在何处，对于首尾相连的两个向量的和向量，它的方向总是由第一个向量的起点指向第二个向量的终点.二、平行四边形法则1.以同一点A为起点的两个已知向量a、b为邻边作平行四边形AB

4、CD，则以A为起点的对角线就是a与b的和.这种作两个向量和的方法叫做向量加法的平行四边形法则.图2-2-32.用向量加法的平行四边形法则求两个向量的和时要注意以下几点：(1)当两个向量共线时，不能用平行四边形法则求和，因为不可能以两平行向量为邻边作平行四边形，所以，平行四边形法则对于两个向量共线时是不适用的.(2)用向量加法的平行四边形法则求两个向量的和时，可在空间任取一点O，使两个向量的起点同时移到点O上去，也可把其中一个向量的起点移到另一个向量的起点上去，再作和.学法一得以从同一点O出发的两个向

5、量为邻边作平行四边形，则从公共点O出发的对角线表示的向量就是两个向量的和，这就是向量加法的平行四边形法则的几何意义.三、向量加法的交换律和结合律1.向量加法的交换律先看看求两个向量和时,两个向量相加的次序能否交换.图2-2-4让我们回到加法的定义.已知向量a、b,如图2-2-4所示，作=a，=b，如果A、B、C不共线，则=a+b.再看看b+a等于什么?作=b，连结，如果我们能证明=a，那么也就证明了加法交换律成立.由作图可知，==b，所以四边形ABCD是平行四边形(为什么?)，这就证明了=a，即加法

6、交换律成立.2.向量加法的结合律图2-2-5如图2-2-5，作=a，=b,=c，由向量加法的定义，知=+=a+b,=+=b+c,所以=+=(a+b)+c,=+=a+(b+c),从而(a+b)+c=a+(b+c)，即向量的加法满足结合律.学法一得与实数的运算相类比，向量也满足交换律和结合律，利用向量的运算律，可有效地简化向量的运算.四、向量加法的多边形法则由两个向量加法的定义可知，两个向量的和仍是一个向量，这样我们就能把三个、四个或任意多个(有限)向量相加.现以四个向量为例说明，如图2-2-6.图2-

7、2-6已知向量a、b、c、d，在平面上任选一点O，作=a，=b，=c，=d，则=+++=a+b+c+d.已知n个向量，依次把这n个向量首尾相连，以第一个向量的起点为起点，第n个向量的终点为终点的向量叫做这n个向量的和向量.这个法则叫做向量求和的多边形法则.当首尾顺次相接的向量构成封闭的向量链时，其中各向量的和就是0.记忆要诀n个向量首尾顺次相连，首起为起，终终为终点的向量叫做n个向量的和向量.典题•热题知识点一向量加法的三角形法则例1某人先位移向量a：“向东走3km”，接着再位移向量b：“向北走3k

8、m”，求a+b.解：如图2-2-7所示，适当选取比例尺，作图2-2-7=a=“向东3km”，=b=“向北3km”，=+=a+b.因为△ABC为直角三角形，所以

9、

10、=(km).又∠AOB=45°，所以a+b表示向东北走km.例2用向量方法证明：对角线互相平分的四边形是平行四边形.图2-2-8如图2-2-8，已知四边形ABCD，对角线AC与BD交于点O，且AO=OC，DO=OB.求证：四边形ABCD是平行四边形.思路分析：要证明四边形是平行四边形，只要证明某一组对边平行且