数值计算方法教案5-2

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1、§3最佳平方逼近3．1法方程设已知，且选择一函数类，其中且设在上线性无关（例如取或等）。研究最佳平方逼近问题：寻求（3．1）或写为这里我们主要研究最佳平方逼近函数存在性，唯一性，计算等问题。设有，即使（3．1）式成立，来考查应满足什么条件。对于任一，即有，于是(3.2)(3.2)式说明均方误差是多元函数（为二次函数），由设存在是极值问题（3.1）解，即说明存在使由多元函数取极值的必要条件，则有（3.3）计算由（3。3）式，则有应满足方程组或或总结上述讨论有结论：（1）如果是最佳平方逼近函数，则系数满足方程组（3.4）其中系数矩阵G

2、是由基函数作内积构成，方程组称为法方程组。（b）误差函数与基函数正交，即事实上，由（3.4）式有即所以（2）由线性无关得

3、G

4、≠0，则法方程组有唯一解在S中最佳平方逼近函数。事实上，即有（3.5）如果能证明，对任何，则有那么，满足考查（记）因）（因为），及（3.5）式有总结上述讨论有结论：定理6（最佳平方逼近）（1）设；（2）选择函数类其中且于线性无关。则(a)在S中最佳平方逼近函数存在且唯一，即存在使(b)可由解法方程组求得，于是的最佳平方逼近函数为（因为）3．2用多项式作最佳平方逼近已知。（1）选取寻求使显然，计算（2）求解法

5、方程组：即得：特别，设，则法方程组为：（或）求解，则可得上述矩阵称为Hilbert矩阵，是一个著名病态矩阵（对解而言），且随增大，病态愈严重，求得比较准确的计算解就愈困难。因此，取中基，求是佳平方逼近多项式当较大时用一般计算方法求得的解是不可靠的，当增加时，这种方程组计算解精度由舍入误差影响而迅速恶化。一个回避病态矩阵的的办法是取中正交基来做最佳平方逼近。3．3用正交多项式作最佳平方逼近设。（1）选取中正交基权函数，寻求使由设，。（2）求解法方程组于是，得到在最佳平方逼近多项式定理7（用正交多项式作最佳平方逼近）（1）设；（2）选

6、取中正交基即，为权函数，则在中最佳平方逼近多项式其中，均方误差=由此，用正交多项式求得最佳平方逼近多项式，其中计算Gram矩阵时，只需计算对角元素，这大大降低了法方程组系数矩阵所涉及的定积分计算量。例4求在[-1，1]上3次最佳平方逼近多项式。解取中正交基其中为Legendre多项式。于[-1，1]在中3次最佳逼近多项式为：其中且表3-1所以由表3-1：下面画出图形和近似函数的图形，直观感受3次最佳平方逼近多项式对于的逼近效果。x=-1:0.01:1;y1=exp(x);y2=0.9963+0.9979*x+0.5367*x.^2

7、+0.1761*x.^3;plot(x,y1,'k-.',x,y2,'r-')xlabel('x')ylabel('y')legend('f(x)=e^{x}','p_{3}^{*}(x)')title('fontname{newroman}比较f(x)=e^{x}与其平方逼近函数p_{3}^{*}(x)=0.9963+0.9979x+0.5367x^{2}+0.1761x^{3}图形');以下介绍如何应用Chebyshev多项式作最佳平方逼近。设。选取中正交基，其中为Chebyshev多项式。，权函数，寻求使由定理7，在中最佳

8、平方逼近多项式为或均方误差如果，要求在上最佳平方逼近多项式：作变换于是，且可用Legendre多项式求在[-1，1]的最佳平方逼近，其中最后，利用可得函数在上最佳平方逼近多项式例5用Chebyshev多项式求在[-1，1]上3次最佳平方逼近多项式。解3次最佳逼近多项式为其中，令于是，可用数值积分计算积分（见表3.2）表3。21234562.532131761.130318210.271495340.044336840.005474240.000542930.000044977在上3次最佳逼近多项式为：且或用Chebyshev多项式

9、求得的3次最佳平方逼近的最大误差接近最佳一致逼近的误差（见图3-3），且误差函数的分布很相似（见本章§6）。x=-1:0.01:1;y1=exp(x);y2=0.994571+0.997308*x+0.542991*x.^2+0.177347*x.^3;plot(x,y1,'k-.',x,y2,'r-')xlabel('x')ylabel('y')legend('f(x)=e^{x}','C_{3}^{*}(x)')title('fontname{newroman}比较f(x)=e^{x}与Chebyshev平方逼近函数C_{3

10、}^{*}(x)=0.994571+0.997308x+0.542991x^{2}+0.177347x^{3}图形');