2019届高考数学一轮复习选修部分不等式选讲课时达标检测六十四不等式的证明理

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1、课时达标检测（六十四）不等式的证明1．(2018·武汉调研)若正实数a，b满足a＋b＝，求证：＋≤1.证明：要证＋≤1，只需证a＋b＋2≤1，即证2≤，即证≤.而a＋b＝≥2，∴≤成立，∴原不等式成立．2．已知函数f(x)＝

2、x＋3

3、＋

4、x－1

5、，其最小值为t.(1)求t的值；(2)若正实数a，b满足a＋b＝t，求证：＋≥.解：(1)因为

6、x＋3

7、＋

8、x－1

9、＝

10、x＋3

11、＋

12、1－x

13、≥

14、x＋3＋1－x

15、＝4，所以f(x)min＝4，即t＝4.(2)证明：由(1)得a＋b＝4，故＋＝1，＋＝＝＋1＋＋≥＋2＝＋1＝，当且仅当b＝2a，即a＝，b＝时取等号，故＋≥.3．设不等式－2<

16、

17、x－1

18、－

19、x＋2

20、<0的解集为M，a，b∈M.(1)证明：<；(2)比较

21、1－4ab

22、与2

23、a－b

24、的大小，并说明理由．解：(1)证明：记f(x)＝

25、x－1

26、－

27、x＋2

28、＝由－2<－2x－1<0解得－

29、a

30、＋

31、b

32、<×＋×＝.(2)由(1)得a2<，b2<.因为

33、1－4ab

34、2－4

35、a－b

36、2＝(1－8ab＋16a2b2)－4(a2－2ab＋b2)＝(4a2－1)(4b2－1)>0.所以

37、1－4ab

38、2>4

39、a－b

40、2，故

41、1－4ab

42、>2

43、a－b

44、.44．(2018·广州模拟)已知x，y，z∈(0，＋∞)，x＋y＋z＝3.(1)求＋＋的最小值；(2)证明：

45、3≤x2＋y2＋z2<9.解：(1)因为x＋y＋z≥3>0，＋＋≥>0，所以(x＋y＋z)≥9，即＋＋≥3，当且仅当x＝y＝z＝1时，＋＋取得最小值3.(2)证明：x2＋y2＋z2＝≥＝＝3，当且仅当x＝y＝z＝1时等号成立．又因为x2＋y2＋z2－9＝x2＋y2＋z2－(x＋y＋z)2＝－2(xy＋yz＋zx)<0，所以3≤x2＋y2＋z2<9.5．(2018·安徽百所重点高中模拟)已知a>0，b>0，函数f(x)＝

46、2x＋a

47、＋2＋1的最小值为2.(1)求a＋b的值；(2)求证：a＋log3≥3－b.解：(1)因为f(x)＝

48、2x＋a

49、＋

50、2x－b

51、＋1≥

52、2x＋a－(2x－b

53、)

54、＋1＝

55、a＋b

56、＋1，当且仅当(2x＋a)(2x－b)≤0时，等号成立，又a>0，b>0，所以

57、a＋b

58、＝a＋b，所以f(x)的最小值为a＋b＋1＝2，所以a＋b＝1.(2)由(1)知，a＋b＝1，所以＋＝(a＋b)＝1＋4＋＋≥5＋2＝9，当且仅当＝且a＋b＝1，即a＝，b＝时取等号．4所以log3≥log39＝2，所以a＋b＋log3≥1＋2＝3，即a＋log3≥3－b.6．(2018·长沙模拟)设α，β，γ均为实数．(1)证明：

59、cos(α＋β)

60、≤

61、cosα

62、＋

63、sinβ

64、，

65、sin(α＋β)

66、≤

67、cosα

68、＋

69、cosβ

70、；(2)若α＋β＋γ＝0，证明：

71、cosα

72、＋

73、

74、cosβ

75、＋

76、cosγ

77、≥1.证明：(1)

78、cos(α＋β)

79、＝

80、cosαcosβ－sinαsinβ

81、≤

82、cosαcosβ

83、＋

84、sinαsinβ

85、≤

86、cosα

87、＋

88、sinβ

89、；

90、sin(α＋β)

91、＝

92、sinαcosβ＋cosαsinβ

93、≤

94、sinαcosβ

95、＋

96、cosαsinβ

97、≤

98、cosα

99、＋

100、cosβ

101、.(2)由(1)知，

102、cos[α＋(β＋γ)]

103、≤

104、cosα

105、＋

106、sin(β＋γ)

107、≤

108、cosα

109、＋

110、cosβ

111、＋

112、cosγ

113、，而α＋β＋γ＝0，故

114、cosα

115、＋

116、cosβ

117、＋

118、cosγ

119、≥cos0＝1.7．(2018·安徽安师大附中、马鞍山二中阶段测试)已知函数f(x)＝

120、x－

121、2

122、.(1)解不等式：f(x)＋f(x＋1)≤2；(2)若a<0，求证：f(ax)－af(x)≥f(2a)．解：(1)由题意，得f(x)＋f(x＋1)＝

123、x－1

124、＋

125、x－2

126、.因此只要解不等式

127、x－1

128、＋

129、x－2

130、≤2.当x≤1时，原不等式等价于－2x＋3≤2，即≤x≤1；当12时，原不等式等价于2x－3≤2，即2

131、ax－2

132、－a

133、x－2

134、＝

135、ax－2

136、＋

137、2a－ax

138、≥

139、ax－2＋2a－ax

140、＝

141、2a－2

142、＝f(2a)，所以f(ax)－af(x)≥f(

143、2a)成立．8．(2018·重庆模拟)设a，b，c∈R＋且a＋b＋c＝1.求证：(1)2ab＋bc＋ca＋≤；(2)＋＋≥2.4证明：(1)因为1＝(a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋2ab＋2bc＋2ca≥4ab＋2bc＋2ca＋c2，当且仅当a＝b时等号成立，所以2ab＋bc＋ca＋＝(4ab＋2bc＋2ca＋c2)≤.(2)因为≥，≥，≥，当且仅当a＝b＝c＝时等号成立．所以＋＋≥＋＋＝a＋b＋c≥2a＋2b＋2c＝2，当且仅当a＝b＝c＝时等号成立．4