（通用版）2019版高考数学一轮复习 选修部分 不等式选讲 课时达标检测（六十四）不等式的证明 理

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1、课时达标检测（六十四）不等式的证明1．(2018·武汉调研)若正实数a，b满足a＋b＝，求证：＋≤1.证明：要证＋≤1，只需证a＋b＋2≤1，即证2≤，即证≤.而a＋b＝≥2，∴≤成立，∴原不等式成立．2．已知函数f(x)＝

2、x＋3

3、＋

4、x－1

5、，其最小值为t.(1)求t的值；(2)若正实数a，b满足a＋b＝t，求证：＋≥.解：(1)因为

6、x＋3

7、＋

8、x－1

9、＝

10、x＋3

11、＋

12、1－x

13、≥

14、x＋3＋1－x

15、＝4，所以f(x)min＝4，即t＝4.(2)证明：由(1)得a＋b＝4，故＋＝1，＋＝＝＋1＋＋≥＋2＝＋1＝，当且仅当b＝2a，即a＝，b＝时取等号，故＋≥.3．设不

16、等式－2<

17、x－1

18、－

19、x＋2

20、<0的解集为M，a，b∈M.(1)证明：<；(2)比较

21、1－4ab

22、与2

23、a－b

24、的大小，并说明理由．解：(1)证明：记f(x)＝

25、x－1

26、－

27、x＋2

28、＝由－2<－2x－1<0解得－

29、a

30、＋

31、b

32、<×＋×＝.(2)由(1)得a2<，b2<.因为

33、1－4ab

34、2－4

35、a－b

36、2＝(1－8ab＋16a2b2)－4(a2－2ab＋b2)＝(4a2－1)(4b2－1)>0.所以

37、1－4ab

38、2>4

39、a－b

40、2，故

41、1－4ab

42、>2

43、a－b

44、.4．(2018·广州模拟)已知x，y，z∈(0，＋∞)，x＋y＋z＝3.(1)求＋＋

45、的最小值；(2)证明：3≤x2＋y2＋z2<9.解：(1)因为x＋y＋z≥3>0，＋＋≥>0，所以(x＋y＋z)≥9，即＋＋≥3，当且仅当x＝y＝z＝1时，＋＋取得最小值3.(2)证明：x2＋y2＋z2＝≥＝＝3，当且仅当x＝y＝z＝1时等号成立．又因为x2＋y2＋z2－9＝x2＋y2＋z2－(x＋y＋z)2＝－2(xy＋yz＋zx)<0，所以3≤x2＋y2＋z2<9.5．(2018·安徽百所重点高中模拟)已知a>0，b>0，函数f(x)＝

46、2x＋a

47、＋2＋1的最小值为2.(1)求a＋b的值；(2)求证：a＋log3≥3－b.解：(1)因为f(x)＝

48、2x＋a

49、＋

50、2x

51、－b

52、＋1≥

53、2x＋a－(2x－b)

54、＋1＝

55、a＋b

56、＋1，当且仅当(2x＋a)(2x－b)≤0时，等号成立，又a>0，b>0，所以

57、a＋b

58、＝a＋b，所以f(x)的最小值为a＋b＋1＝2，所以a＋b＝1.(2)由(1)知，a＋b＝1，所以＋＝(a＋b)＝1＋4＋＋≥5＋2＝9，当且仅当＝且a＋b＝1，即a＝，b＝时取等号．所以log3≥log39＝2，所以a＋b＋log3≥1＋2＝3，即a＋log3≥3－b.6．(2018·长沙模拟)设α，β，γ均为实数．(1)证明：

59、cos(α＋β)

60、≤

61、cosα

62、＋

63、sinβ

64、，

65、sin(α＋β)

66、≤

67、cosα

68、＋

69、cosβ

70、；(

71、2)若α＋β＋γ＝0，证明：

72、cosα

73、＋

74、cosβ

75、＋

76、cosγ

77、≥1.证明：(1)

78、cos(α＋β)

79、＝

80、cosαcosβ－sinαsinβ

81、≤

82、cosαcosβ

83、＋

84、sinαsinβ

85、≤

86、cosα

87、＋

88、sinβ

89、；

90、sin(α＋β)

91、＝

92、sinαcosβ＋cosαsinβ

93、≤

94、sinαcosβ

95、＋

96、cosαsinβ

97、≤

98、cosα

99、＋

100、cosβ

101、.(2)由(1)知，

102、cos[α＋(β＋γ)]

103、≤

104、cosα

105、＋

106、sin(β＋γ)

107、≤

108、cosα

109、＋

110、cosβ

111、＋

112、cosγ

113、，而α＋β＋γ＝0，故

114、cosα

115、＋

116、cosβ

117、＋

118、cosγ

119、≥cos0＝1.7．(2018·安徽

120、安师大附中、马鞍山二中阶段测试)已知函数f(x)＝

121、x－2

122、.(1)解不等式：f(x)＋f(x＋1)≤2；(2)若a<0，求证：f(ax)－af(x)≥f(2a)．解：(1)由题意，得f(x)＋f(x＋1)＝

123、x－1

124、＋

125、x－2

126、.因此只要解不等式

127、x－1

128、＋

129、x－2

130、≤2.当x≤1时，原不等式等价于－2x＋3≤2，即≤x≤1；当12时，原不等式等价于2x－3≤2，即2

131、ax－2

132、－a

133、x－2

134、＝

135、ax－2

136、＋

137、2a－ax

138、≥

139、ax－2＋2a

140、－ax

141、＝

142、2a－2

143、＝f(2a)，所以f(ax)－af(x)≥f(2a)成立．8．(2018·重庆模拟)设a，b，c∈R＋且a＋b＋c＝1.求证：(1)2ab＋bc＋ca＋≤；(2)＋＋≥2.证明：(1)因为1＝(a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋2ab＋2bc＋2ca≥4ab＋2bc＋2ca＋c2，当且仅当a＝b时等号成立，所以2ab＋bc＋ca＋＝(4ab＋2bc＋2ca＋c2)≤.(2)因为≥，≥，≥，当且仅当a＝b＝c＝时等号成立．所以＋＋≥＋＋＝a＋b＋c≥2a＋2b＋2c＝2，当且仅当a＝b＝c＝时等号成立．