2018版高中数学人教b版必修四学案1.3.2 余弦函数正切函数的图象与性质（一）

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1、1.3.2　余弦函数、正切函数的图象与性质(一)[学习目标]　1.会用“五点法”作出余弦函数的简图.2.理解余弦函数的性质，会求余弦函数的周期、单调区间及最值.3.理解正弦曲线与余弦曲线的联系．[知识链接]1．如何快速做出余弦函数的图象？答　(1)依据诱导公式cosx＝sin，要得到y＝cosx的图象，只须把y＝sinx的图象向左平移个单位长度即可．余弦函数的图象叫做余弦曲线，图象如下图所示：(2)在精度要求不高时，要画出y＝cosx，x∈[0,2π]的图象，可以通过描出(0,1)，，(π，－1)，，(2π，1)五个关键点，再用光滑曲线将它们连接起来，就可以得到

2、余弦函数y＝cosx，x∈[0,2π]的图象．2．观察正弦曲线和余弦曲线的对称性，你有什么发现？答　正弦函数y＝sinx的图象关于原点对称，余弦函数y＝cosx的图象关于y轴对称．[预习导引]　正弦函数和余弦函数的图象、性质对比(下表中k∈Z)函数y＝sinxy＝cosx图象定义域RR值域[－1,1][－1,1]奇偶性奇函数偶函数6周期性最小正周期：2π最小正周期：2π单调性在－＋2kπ，＋2kπ上单调递增；在＋2kπ，＋2kπ上单调递减在[－π＋2kπ，2kπ]上单调递增；在[2kπ，π＋2kπ]上单调递减最值在x＝＋2kπ时，ymax＝1；在x＝－＋2kπ时

3、，ymin＝－1在x＝2kπ时，ymax＝1；在x＝π＋2kπ时，ymin＝－1对称性对称中心：(kπ，0)，对称轴：x＝＋kπ对称中心：＋kπ，0，对称轴：x＝kπ要点一　余弦函数的单调性例1　求函数y＝3cos的单调递增区间．解　y＝3cos＝3cos.由2kπ－π≤－≤2kπ(k∈Z)，解得4kπ－π≤x≤4kπ＋π(k∈Z)，∴函数y＝3cos的单调递增区间为4kπ－π，4kπ＋π(k∈Z)．规律方法　确定函数y＝Asin(ωx＋φ)或y＝Acos(ωx＋φ)单调区间的基本思想是整体换元思想．即将ωx＋φ看作一个整体，利用基本三角函数的单调性来求复杂三角

4、函数的单调区间．若x的系数为负，通常利用诱导公式化为正数再求解．有时还应兼顾函数的定义域．跟踪演练1　求函数y＝logcos的单调递增区间．解　根据复合函数“同增异减”的规律，即求函数y＝cos的单调递减区间，同时x应使cos>0.∴2kπ≤－<2kπ＋(k∈Z)．整理得4kπ＋≤x<4kπ＋(k∈Z)．6所以函数y＝logcos的单调递增区间是(k∈Z)．要点二　余弦函数的值域例2　求函数y＝3cos2x－4cosx＋1，x∈的值域．解　y＝3cos2x－4cosx＋1＝32－.∵x∈，∴cosx∈.从而当cosx＝－，即x＝时，ymax＝；当cosx＝，即x

5、＝时，ymin＝－.∴函数值域为.规律方法　求三角函数最值的两种基本类型：(1)将三角函数式化为y＝Acos(ωx＋φ)＋k的形式，结合有界性求最值；(2)将三角函数式化为关于cosx(或sinx)的二次函数的形式，利用二次函数的性质和有界性求最值．跟踪演练2　已知函数y＝acos＋3，x∈的最大值为4，求实数a的值．解　∵x∈，∴2x＋∈，∴－1≤cos≤.当a>0，cos＝时，y取得最大值a＋3，∴a＋3＝4，∴a＝2.当a<0，cos＝－1时，y取得最大值－a＋3，∴－a＋3＝4，∴a＝－1，综上可知，实数a的值为2或－1.要点三　余弦曲线的对称性例3　已

6、知函数y＝2cos.(1)在该函数的对称轴中，求离y轴距离最近的那条对称轴的方程；(2)把该函数的图象向右平移φ个单位后，图象关于原点对称，求φ的最小正值．解　(1)令2x＋＝kπ，k∈Z，解得x＝－，k∈Z.令k＝0，x＝－；令k＝1，x＝.6∴函数y＝2cos的对称轴中离y轴最近的一条对称轴的方程是x＝.(2)设该函数向右平移φ个单位后解析式为y＝f(x)，则f(x)＝2cos＝2cos.∵y＝f(x)的图象关于原点(0,0)对称，∴f(0)＝2cos＝0.∴－2φ＝kπ＋，k∈Z.解得φ＝－.令k＝0，得φ＝.∴φ的最小正值是.规律方法　关于正弦、余弦函数

7、的对称性有以下重要结论：(1)f(x)＝Asin(ωx＋φ)(或Acos(ωx＋φ))的图象关于x＝x0对称⇔f(x0)＝A或－A.(2)f(x)＝Asin(ωx＋φ)(或Acos(ωx＋φ))的图象关于点(x0,0)中心对称⇔f(x0)＝0.跟踪演练3　把函数y＝cos的图象向右平移φ个单位，正好关于y轴对称，求φ的最小正值．解　由题意平移后的函数为y＝cos，它是偶函数，因此，当x＝0时，cos取得最大值1或最小值－1，故－φ＝2nπ或(2n＋1)π(n∈Z)，即－φ＝kπ(k∈Z)．∴φ＝－kπ(k∈Z)，当k＝1时，φ取最小正值.1．函数f(x)＝cos

8、(2x＋)的最小正周期是