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1、多相图像分割的全局凸优化模型及其Split-Bregman算法1.引言多相图像分割是根据图像不同特征将其划分为不同的区域。由于变分水平集方法[1,2,3,4]在多种模型的集成和复杂拓扑结构表达等方面的优势成为多相图像分割的基础方法[5,6,7]。这类方法将问题抽象为相关能量泛函的极值问题，然后通过变分方法得到不同区域参数估计方程和水平集函数的演化方程，演化方程对应的稳态解对应图像分割的结果。尽管已提出多个两相/多相图像分割的变分水平集模型[8-17]，但这些模型往往由于其目标函数是非凸的，或采用的离散的水平集的集合是非凸的，致使这些传统的模型只能取得局
2、部极小值解，从而使得分割得结果依赖于水平集函数的初始化位置，不同的初始化可能得到不同的结果。同时，这类问题需要求解复杂的演化方程，往往计算效率不高，很难满足具有实时性要求的相关应用。由此引发了近年国际上在快速全局最优变分图像分割的数学模型和数值方法方面的研究。在两相图像分割的变分水平集模型方面，Chan,Esedoglu,Nikolova[18],Bresson,Esedoglu,Vandergheynst,Thiran,Osher[19]首先将已被工程及学术界普遍接受的Chan-Vese模型[20]通过凸松弛将其转化为等价的全局凸优化模型，通过对等价
3、凸优化模型的解阈值化得到原问题的全局最优解，避免了分割结果对水平集函数初始化的依赖。为了提高计算效率，[18,19]通过引进辅助变量设计了相应的对偶方法[21,22]，为了进一步提高计算效率，Goldstein,Bresson,Osher[23]采用了近年提出的Split-Bregman迭代算法[24,25]。传统的多相图像分割的变分水平集模型是两像分割变分水平集模型的自然拓展，与后者的主要区别在于多区域特征函数的设计，往往需要引进多个水平集函数，或取多个离散值的单个水平集函数，而其优化过程均通过将原问题转化为多个交替优化子过程，每个子优化过程实质为一
4、个简单的两相图像分割模型，因此，求解全局最优多相图像分割变分水平集的问题自然可想象为求解一系列全局最优子问题，但遗憾的是这多个交替全局凸优化子过程的解并不能保证是全局最优多相图像分割变分水平集的解。如上所述，17多个图像区域的特征函数可以采用多个二值化的水平集函数设计，亦可采用取不同离散整数值的多标记函数设计，前者对应多个函数的能量泛函极值问题，后者是关于一个多标记函数的能量泛函极值问题。对于后者，Brown,Chan,Bresson[27]]基于Pock.Schoenemann,Graber,BischofandCremers[28]关于连续标记问题
5、的凸优化问题提出的超水平集和泛函提升(Liftedfunctional)等概念将Lie,Lysaker,Tai[12]提出的多相图像分割的分段常值水平集模型转化为全局凸优化模型，并设计了相应的对偶算法。针对关于多个函数的能量泛函极值问题的等价全局凸优化研究较多，其中，Zach,Gallup,FrahmandNiethammer[29]，Lellmann,Kappes,Yuan,Becker,andSchnoerr[30]是将特征函数表达的Samson,Blanc-Feraud,Aubert[8]提出的受约束的多相图像分割的变分水平集模型转化为基于单纯形
6、约束的凸优化模型，Chambolle,Cremers,Pock[31],Pock,Chambolle,BischofandCremers[32]则受Chung,Vese[10]的分层水平集函数概念启发提出了一种多个有序二值水平集函数的特征函数表达方法，并结合对偶方法设计了相应的凸优化等价模型，尽管[29,30,31,32]的工作均对基于每个变量的优化都是凸优化问题，但对整个模型而然，不能保证全局凸优化。相关的研究还有Bae,YuanandTai[33]针对Potts型模型提出的光滑的凸主变量模型与凸对偶变量模型的连续多相分块问题的全局优化方法，及Gol
7、dstein,BressonandOsher[34]针对光流计算模型提出的对矢量值函数的非凸泛函的凸优化方法，[34]是对[28]工作的推广，主要贡献是基于超水平集函数针对矢量值函数提出了箱函数的概念，并纠正了[28]中忽视的对超水平集函数单调递减的约束以及对该函数应该所在的函数空间的限制。为了提高多相图像分割的计算效率，Taiet.al[35-38]研究了分段常值图像多相分割的图割方法。但Goldstein,Bresson,Osher[23]的针对两相图像分割数值试验表明，基于连续标记函数全局凸优化问题的阈值解联合Split-Bregman计算方法，
8、其计算效率优于图割模型。且这类方法比图割方法占用更少的内存，能够得到更精确的解，并易于并行计算
