2质点运动定律习题思考题

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时间:2018-08-06

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1、习题22-1质量为16kg的质点在平面内运动,受一恒力作用,力的分量为,,当时,,,。当时,求:(1)质点的位矢;(2)质点的速度。解:由,有:,(1)于是2秒时质点的位矢为:(2)于是质点在时的速度:2-2摩托快艇以速率v0行驶,它受到的摩擦阻力与速率平方成正比,可表示为F=-kv2(k为正值常量)。设摩托快艇的质量为m,当摩托快艇发动机关闭后,求:(1)求速率v随时间t的变化规律;(2)求路程x随时间t的变化规律;(3)证明速度v与路程x之间的关系为,其中。解:(1)由牛顿运动定律得:,分离变量有15,两边积分得:速率随时间变化的规律为;(2)由位移和速度的积分关系:,

2、积分有:由于此题路程和位移相等,∴路程随时间变化的规律为:;(3)由,,∴积分有:,其中2-3.质量为的子弹以速度水平射入沙土中,设子弹所受阻力与速度反向,大小与速度成正比,比例系数为,忽略子弹的重力,求:(1)子弹射入沙土后,速度随时间变化的函数式;(2)子弹进入沙土的最大深度。解:(1)由题意,子弹射入沙土中的阻力表达式为:又由牛顿第二定律可得:,则分离变量,可得:,两边同时积分,有:,所以:(2)子弹进入沙土的最大深度也就是的时候子弹的位移,则:考虑到,,可推出:15,而这个式子两边积分就可以得到位移:。2-4.一条质量分布均匀的绳子,质量为、长度为,一端拴在竖直转轴

3、OO′上,并以恒定角速度在水平面上旋转.设转动过程中绳子始终伸直不打弯,且忽略重力,求距转轴为r处绳中的张力T(r).解:考虑离轴线和间的一小段绳子(如图),它的长度为,质量,由于绳子作圆周运动,这小段绳子就有法向加速度,所以它的两端的张力不相等,设为和,其运动方程为:因为;于是有:,得:,而2-5.已知一质量为的质点在轴上运动,质点只受到指向原点的引力作用,引力大小与质点离原点的距离的平方成反比,即,是比例常数.设质点在时的速度为零,求质点在处的速度的大小。解:由题意:,再由牛顿第二定律可得:,考虑到,,可推出:两边同时取积分,则:15有:2-6.一质量为的质点,在平面上

4、运动,受到外力(SI)的作用,时,它的初速度为(SI),求时质点的速度及受到的法向力。解:由于是在平面运动,所以考虑矢量。由:,有:,两边积分有:,∴,考虑到,,有由于在自然坐标系中,,而(时),表明在时,切向速度方向就是方向,所以,此时法向的力是方向的,则利用,将代入有,∴。2-7.如图,用质量为的板车运载一质量为的木箱,车板与箱底间的摩擦系数为,车与路面间的滚动摩擦可不计,计算拉车的力为多少才能保证木箱不致滑动?解法一:根据题意,要使木箱不致于滑动,必须使板车与木箱具有相同的加速度,且上限车板与箱底间为最大摩擦。即:可得:解法二:设木箱不致于滑动的最大拉力为,列式有:

5、联立得:,有:。152-8.如图所示一倾角为的斜面放在水平面上,斜面上放一木块,两者间摩擦系数为。为使木块相对斜面静止,求斜面加速度的范围。解法一:在斜面具有不同的加速度的时候,木块将分别具有向上和向下滑动的趋势,这就是加速度的两个范围,由题意,可得:(1)当木块具有向下滑动的趋势时(见图a),列式为:可计算得到:此时的(2)当木快具有向上滑动的趋势时(见图b),列式为:可计算得到:此时的,所以:。解法二:考虑物体m放在与斜面固连的非惯性系中,将物体m受力沿和方向分解,如图示,同时考虑非惯性力,隔离物块和斜面体,列出木块平衡式:方向:方向:考虑到,有:,解得:。∴的取值范围

6、:。2-9密度为ρ1的液体,上方悬一长为l,密度为ρ2的均质细棒AB,棒的B端刚好和液面接触。今剪断绳,并设棒只在重力和浮力作用下下沉,求:(1)棒刚好全部浸入液体时的速度;(2)若ρ2<ρ1/2,棒进入液体的最大深度;15(3)棒下落过程中能达到的最大速度。解:(1)由牛顿运动定律得:,考虑到,,分离变量,有:,棒刚好全部浸入液体时,速度为,此时,则两边积分,得:,∴。(2)由来看,棒可以全部浸入液体的条件为,即:,假若有条件,则棒不能全部浸入液体;若,设棒进入液体的最大深度为,由积分可得:,考虑到棒在最大深度时速度为零,有:。(3)由牛顿运动定律知,当时,,速度最大(设

7、为)15有:,即,由积分,有:,∴。2-10.圆柱形容器内装有一定量的液体,若它们一起绕圆柱轴以角速度匀速转动,试问稳定旋转时液面的形状如何?解:取容器内稳定旋转液面某处一小块液体微元,受重力和支持力的作用,考虑剖面,受力分析如图示。列式:①,②①/②有:,又由导数几何意义,有:∴,积分有:当时所以,表明剖面上,形成液面的抛物线;同理,在剖面上,可得:,稳定旋转时液面是一个抛物面,综上,在立体的三维坐标上,抛物面的方程为:。2-11.质量为的物体可以在劈形物体的斜面上无摩擦滑动,15劈形物质量为,放置在光滑的水平面

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