2质点运动定律习题思考题

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1、习题22-1质量为16kg的质点在平面内运动，受一恒力作用，力的分量为，，当时，，，。当时，求：(1)质点的位矢；(2)质点的速度。解：由，有：，（1）于是2秒时质点的位矢为：（2）于是质点在时的速度：2-2摩托快艇以速率v0行驶，它受到的摩擦阻力与速率平方成正比，可表示为F=-kv2(k为正值常量)。设摩托快艇的质量为m，当摩托快艇发动机关闭后，求：(1)求速率v随时间t的变化规律；(2)求路程x随时间t的变化规律；(3)证明速度v与路程x之间的关系为，其中。解：（1）由牛顿运动定律得：，分离变量有15，两边积分得：速率随时间变化的规律为；（2）由位移和速度的积分关系：，

2、积分有：由于此题路程和位移相等，∴路程随时间变化的规律为：；（3）由，，∴积分有：，其中2-3．质量为的子弹以速度水平射入沙土中，设子弹所受阻力与速度反向，大小与速度成正比，比例系数为，忽略子弹的重力，求：(1)子弹射入沙土后，速度随时间变化的函数式；(2)子弹进入沙土的最大深度。解：（1）由题意，子弹射入沙土中的阻力表达式为：又由牛顿第二定律可得：，则分离变量，可得：，两边同时积分，有：，所以：（2）子弹进入沙土的最大深度也就是的时候子弹的位移，则：考虑到，，可推出：15，而这个式子两边积分就可以得到位移：。2-4．一条质量分布均匀的绳子，质量为、长度为，一端拴在竖直转轴

3、OO′上，并以恒定角速度在水平面上旋转．设转动过程中绳子始终伸直不打弯，且忽略重力，求距转轴为r处绳中的张力T(r)．解：考虑离轴线和间的一小段绳子（如图），它的长度为，质量，由于绳子作圆周运动，这小段绳子就有法向加速度，所以它的两端的张力不相等，设为和，其运动方程为：因为；于是有：，得：，而2-5．已知一质量为的质点在轴上运动，质点只受到指向原点的引力作用，引力大小与质点离原点的距离的平方成反比，即，是比例常数．设质点在时的速度为零，求质点在处的速度的大小。解：由题意：，再由牛顿第二定律可得：，考虑到，，可推出：两边同时取积分，则：15有：2-6．一质量为的质点，在平面上

4、运动，受到外力(SI)的作用，时，它的初速度为(SI)，求时质点的速度及受到的法向力。解：由于是在平面运动，所以考虑矢量。由：，有：，两边积分有：，∴，考虑到，，有由于在自然坐标系中，，而（时），表明在时，切向速度方向就是方向，所以，此时法向的力是方向的，则利用，将代入有，∴。2-7．如图，用质量为的板车运载一质量为的木箱，车板与箱底间的摩擦系数为，车与路面间的滚动摩擦可不计，计算拉车的力为多少才能保证木箱不致滑动？解法一：根据题意，要使木箱不致于滑动，必须使板车与木箱具有相同的加速度，且上限车板与箱底间为最大摩擦。即：可得：解法二：设木箱不致于滑动的最大拉力为，列式有：

5、联立得：，有：。152-8．如图所示一倾角为的斜面放在水平面上，斜面上放一木块，两者间摩擦系数为。为使木块相对斜面静止，求斜面加速度的范围。解法一：在斜面具有不同的加速度的时候，木块将分别具有向上和向下滑动的趋势，这就是加速度的两个范围，由题意，可得：（1）当木块具有向下滑动的趋势时（见图a），列式为：可计算得到：此时的（2）当木快具有向上滑动的趋势时（见图b），列式为：可计算得到：此时的，所以：。解法二：考虑物体m放在与斜面固连的非惯性系中，将物体m受力沿和方向分解，如图示，同时考虑非惯性力，隔离物块和斜面体，列出木块平衡式：方向：方向：考虑到，有：，解得：。∴的取值范围

6、：。2-9密度为ρ1的液体，上方悬一长为l，密度为ρ2的均质细棒AB，棒的B端刚好和液面接触。今剪断绳，并设棒只在重力和浮力作用下下沉，求：(1)棒刚好全部浸入液体时的速度；(2)若ρ2<ρ1/2，棒进入液体的最大深度；15(3)棒下落过程中能达到的最大速度。解：（1）由牛顿运动定律得：，考虑到，，分离变量，有：，棒刚好全部浸入液体时，速度为，此时,则两边积分，得：，∴。（2）由来看，棒可以全部浸入液体的条件为，即：，假若有条件，则棒不能全部浸入液体；若，设棒进入液体的最大深度为，由积分可得：，考虑到棒在最大深度时速度为零，有：。（3）由牛顿运动定律知，当时，，速度最大（设

7、为）15有：，即，由积分，有：，∴。2-10．圆柱形容器内装有一定量的液体，若它们一起绕圆柱轴以角速度匀速转动，试问稳定旋转时液面的形状如何？解：取容器内稳定旋转液面某处一小块液体微元，受重力和支持力的作用，考虑剖面，受力分析如图示。列式：①，②①/②有：，又由导数几何意义，有：∴，积分有：当时所以，表明剖面上，形成液面的抛物线；同理，在剖面上，可得：，稳定旋转时液面是一个抛物面，综上，在立体的三维坐标上，抛物面的方程为：。2-11．质量为的物体可以在劈形物体的斜面上无摩擦滑动，15劈形物质量为，放置在光滑的水平面