质点运动定律习题

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1、2-1.质量为加的子弹以速度片)水平射入沙土中，设子弹所受阻力耳速度反向，大小与速度成正比，比例系数为k,忽略子弹的重力，求：(1)子弹射入沙土后，速度随时间变化的函数式；(2)子弹进入沙土的最大深度。解(1)由题意和牛顿第二定律可得：f=-kv=m—,dt分离变量，可得：—两边同时积分，所以：v=v0^“mvdt(2)子弹进入沙土的最人深度也就是v=()的时候子弹的位移，贝IJ：由-工=「可推出：vdt=--civ,而这个式子两边积分就可以得mvdtk到位移1^max==jl'-7^V=7V()。'/////,0，2-2.—条质量分布均匀的绳子，质量为M、长度为L、一端拴在竖直转轴0

2、0’上，并以恒定允速度⑵在水平面上旋转.设转动过程屮绳子始终伸直不打弯，且忽略重力，求距转轴为厂处绳中的张力7(r).W：在细子中距离转轴为「处取一小段细子，假设其质量为dm,可知:7Mddm=,分析这dm的绳子的受力情况，因为它做的是闘周运动，所以我们可列出：dT⑺二命亦“「出L。L距转轴为r处绳屮的张力T(“将提供的是r以外的绳子转动的向心力，所以22L两边枳分：T(r)=fdT(厂)=巴丄(厶2—厂2)2-3.已知一质量为加的质点在兀轴上运动，质点只受到指向原点的引力作川，引力大小与质点离原点的距离x的平方成反比，即f=-k/xk是比例常数.设质点在兀=4时的速度为零，求质点在x

3、=A/4处的速度的大小。解：由题意和牛顿第二定律可得：f=~^=m—=m——=mv—xdtdxdtdx再采取分离变量法可得：-丄dx=mvdv,M/4k0’两边同时収积分，贝

4、J：£t/x=Jmvdv所以：v=2-4.—质量为2kg的质点，在兀y平面上运动，受到外力F=4i-24r2j(SI)的作用，/=0时，它的初速度为v()=3i+4j(SI),求t=s时质点的速度及受到的法向力d*解：由题意和牛顿第二定律可得：f=ma=m—f代入f与v,并两边积dt分，(4i-24t2j)dt=mdv,4i-8j=2xlv-(3i+4j)Jv=5i速度是i方向，也就是切向的，所以法向的力是j方向

5、的，则F=-24j2-5.如图，用质量为“的板午运载一质量为加2的木箱，车板与箱底间的摩擦系数为“，车与路而间的滚动摩擦可不计，计算拉车的力F为多少才能保证木箱不致滑动？解：根据题意，要使木箱不致于滑动，必须使板车与木箱具有相同的加速度,所以列式:F唤=广=“叫gm,+m2m2m2可得：Fy+加2）g2-6.如图所示一•倾角为&的斜面放在水平面上，斜面上放一木块，两者间摩擦系数为“（Vfg&）。为使木块相对斜而静止，求斜而加速度d的范围。⑹有上滑趋势解：在斜而具有不同的加速度的吋候，木块将分别具有向上和向下滑动的趋势，这就是加速度的两个范围，山题意，可得：（1）当木块具有向下滑动的趋势时

6、（见图a),列式为：jl/Nsin0+Ncos0=mgNsin&—pNcos&=ma口J计算得到：此时的q=伽0—“&1+“tan&（2）当木快具有向上滑动的趋势吋（见图b）,列式为：/jNsin0+mg=Ncos0Nsin0+口Ncos0=ma可计算得到:此时的"旦匕1一“tan〃tanO-u/,tan0+“所以2

7、力学定律；求解三角形物块的加速度％.力，列iii方程，发现方程完备性不（加）够，即未知数比方程数多，关键在这就是约束条件。于，M与m的运动有联系的，M沿地而运动，m沿斜面运动,取地而作为参考系，则in的运动为：f-Nsina=max（1）INcosa-mg=may（2）M的运动方程为：Nsina=Mcim（3）卜而列出约束条件的方程:取M作为参考系，设m在其中的相对加速度为在x,y方向的分量分别为a与a,那么：taner=-'丿Zf%(4)Ncosct=Jmg(2)利用相对运动的公式，所以：afx=ax-aMci；=ay9于是:Jtancr=—=即：axsina一aycosa-aMsin

8、a由(1)(2)(3)(4)联立，计算可得:_msinorcosorQ"M+msin2a'2-8.圆柱形容器内装有一定量的液体，若它们一起绕圆柱轴以角速度(。匀速转动，试问稳定旋转时液而的形状如何？解：受力分析如图Nsina=Jmto2y(1)2两式相比tan«=^=—gdyfdz=管yb+c7CD~9〒厂2g+Zo稳定旋转吋液而是一个抛物而由于旋转后成为立体，故方程变为【2=長(0+),，2)+知】(加

9、)2-9.质量为加2的物体