2017－2018学年高中数学（苏教版）选修1－1讲学案：第三章 3．1　导数的概念

《2017－2018学年高中数学（苏教版）选修1－1讲学案：第三章 3．1　导数的概念》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、2017-2018学年苏教版高中数学选修1-1讲学案www.ks5u.com3．1导数的概念3．1.1　平均变化率某病人吃完退烧药，他的体温变化如下：x(min)0102030405060y(℃)3938.738.53837.637.336.8问题1：试比较时间x从0min到20min和从20min到30min体温变化情况，哪段时间体温变化较快？提示：从20min到30min变化快．问题2：如何刻画体温变化的快慢？提示：用平均变化率．问题3：平均变化率一定为正值吗？提示：不一定．可正、可负、可为零．1．平均变化率一般地，函

2、数f(x)在区间[x1，x2]上的平均变化率为.2．平均变化率与曲线变化关系平均变化率是曲线陡峭程度的“数量化”，或者说，曲线陡峭程度是平均变化率的“视觉化”．对平均变化率的理解(1)由平均变化率的定义知，平均变化率可正、可负、可为零．-18-2017-2018学年苏教版高中数学选修1-1讲学案(2)平均变化率刻画函数值在区间[x1，x2]上变化的快慢．求平均变化率[例1]　已知函数f(x)＝2x2＋1.(1)求函数f(x)在区间[1,1.1]上的平均变化率；(2)求函数f(x)在区间[2,2.01]上的平均变化率．[思路

3、点拨]　直接利用平均变化率的定义求解即可．[精解详析]　(1)＝＝＝4.2.(2)＝＝＝＝8.02.[一点通]　求函数f(x)在区间[x1，x2]上的平均变化率的步骤：第一步：求x2－x1；第二步：求f(x2)－f(x1)；第三步：由定义得出.1．求函数y＝sinx在0到之间和到之间的平均变化率．解：在0到之间的平均变化率为＝；在到之间的平均变化率为＝.2.如图是函数y＝f(x)的图像，则：(1)函数f(x)在区间[－1,1]上的平均变化率为________；(2)函数f(x)在区间[0,2]上的平均变化率为_______

4、_．-18-2017-2018学年苏教版高中数学选修1-1讲学案解析：(1)函数f(x)在区间[－1,1]上的平均变化率为＝＝.(2)由函数f(x)的图像知，f(x)＝所以函数f(x)在区间[0,2]上的平均变化率为＝＝.答案：(1)　(2)平均变化率的应用[例2]　已知气球的体积为V(单位：L)与半径r(单位：dm)之间的函数关系是V(r)＝πr3.(1)求半径r关于体积V的函数r(V)；(2)比较体积V从0L增加到1L和从1L增加到2L时半径r的平均变化率，哪段半径变化较快(精确到0.01)？此结论可说明什么意义？[思

5、路点拨]　首先由球的体积公式变形得到函数r(V)的解析式，再根据求平均变化率的步骤运算．[精解详析]　(1)∵V＝πr3，∴r3＝，r＝，∴r(V)＝.(2)函数r(V)在区间[0,1]上的平均变化率约为＝≈0.62(dm/L)．函数r(V)在区间[1,2]上的平均变化率约为＝－－≈0.16(dm/L)．显然体积V从0L增加到1L时，半径变化快，这说明随着体积的增加，气球的半径增加的越来越慢．[一点通]　平均变化率在实际问题中有很大作用，要把实际问题中的量与函数中的量对应起来，从而能利用平均变化率的定义来解决实际问题．-1

6、8-2017-2018学年苏教版高中数学选修1-1讲学案3．已知某一细菌分裂的个数随时间ts的变化满足函数关系式f(t)＝3t＋1，分别计算该细菌在[1,2]，[3,4]，[5,6]时间段内分裂个数的变化率，由此你能得出什么结论？解：细菌分裂的个数在[1,2]内的平均变化率为＝32－3＝6，细菌分裂的个数在[3,4]内的平均变化率为＝34－33＝54.细菌分裂的个数在[5,6]内的平均变化率为＝36－35＝486.由此得出随时间的增加，细菌分裂的个数增加速度越来越快．4．一底面半径为rcm，高为hcm的倒立圆锥形容器，若以

7、ncm3/s的速率向容器里注水，求注水时前ts水面上升的平均速率，并说明由此得出什么结论．解：设注水ts时，水面高度为ycm，此时水面半径为xcm.则＝，∴x＝y，由题意知nt＝x2y＝，∴y＝·，在[0，t]内水面上升的平均速率为：＝＝＝(cm3/s)，可见当t越来越大时，水面上升的平均速率将越来越小．平均变化率近似地刻画了曲线在某一区间上的变化趋势，平均变化率的绝对值反映了曲线在给定的区间上变化的快慢，平均变化率的绝对值越大，曲线在该区间上的变化越快；反之则慢．[对应课时跟踪训练(十五)]　1．函数f(x)＝在x＝1到

8、x＝2之间的平均变化率为________．-18-2017-2018学年苏教版高中数学选修1-1讲学案解析：＝＝－.答案：－2．某人服药后，人吸收药物的情况可以用血液中药物的浓度c(单位：mg/mL)来表示，它是时间t(单位：min)的函数，表示为c＝c(t)，下表给出了c(t)的一些函数值：t/min