2017-2018学年高中数学人教b版选修4-1教学案：第一章 1.1 1.1.2　相似三角形的性质

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1、2017-2018学年高中数学人教B版选修4-1教学案1．1.2　相似三角形的性质[读教材·填要点]相似三角形的性质定理(1)性质定理1：相似三角形对应边上的高、中线和它们周长的比都等于相似比．(2)性质定理2：相似三角形面积的比等于相似比的平方．[小问题·大思维]1．两个相似三角形的外接圆的直径比、周长比、面积比与相似比有什么关系？提示：相似三角形外接圆的直径比、周长比等于相似比，外接圆的面积比等于相似比的平方．2．两个相似三角形的内切圆的直径比、周长比、面积比与相似比之间又有什么关系？提示：相似三角形内切圆的直径比、周长比等于相似比，内切圆的面积比等于相似比的平方．利用性质1求边长或面积[

2、例1]　如图，梯形ABCD，AB∥CD，E是对角线AC和BD的交点，S△DEC∶S△DBC＝1∶3，求：的值．[思路点拨]　本题考查相似三角形的判定及性质的应用．解答本题需要利用相似三角形的性质求得之比，进而求得的值，最后求得的值．[精解详析]　∵S△DEC∶S△DBC＝1∶3，∴DE∶DB＝1∶3，即DE∶EB＝1∶2.又∵DC∥AB，∴△DEC∽△BEA.122017-2018学年高中数学人教B版选修4-1教学案∴S△DEC∶S△BEA＝1∶4.又∵DE∶EB＝CE∶EA＝1∶2，∴S△DEC∶S△DEA＝1∶2.∴S△DEC∶S△ABD＝1∶6.即＝.相似三角形的性质把相似三角形对应边上

3、的高、中线，以及周长、面积都与相似三角形的对应边的比(相似比)联系起来，利用相似三角形的性质可得到线段的比例，线段的平方比或角相等，有时还可用来计算三角形的面积、周长和边长．1．△ABC∽△A′B′C′，AD和A′D′分别是△ABC和△A′B′C′的中线，且AD∶A′D′＝7∶3，下面给出四个结论：①BC∶B′C′＝7∶3；②△ABC的周长与△A′B′C′的周长之比为7∶3；③△ABC与△A′B′C′的对应高之比为7∶3；④△ABC与△A′B′C′的对应中线之比为7∶3.其中正确的个数为(　　)A．1　　　　　　　　B．2C．3D．4解析：由相似三角形的性质知4个命题均正确，故选D.答案：D利

4、用相似三角形的性质解决实际问题[例2]　如图，△ABC是一块锐角三角形余料，边BC＝200mm，高AD＝300mm，要把它加工成长是宽的2倍的矩形零件，使矩形较短的边在BC上，其余两个顶点分别在AB、AC上，求这个矩形零件的边长．[思路点拨]　122017-2018学年高中数学人教B版选修4-1教学案本题考查相似三角形性质的应用．解答本题需要设出所求矩形零件的某一边长，然后借助△AEH∽△ABC求解．[精解详析]　设矩形EFGH为加工成的矩形零件，边FG在BC上，则点E、H分别在AB、AC上，△ABC的高AD与边EH相交于点P，设矩形的边EH的长为xmm.因为EH∥BC，所以△AEH∽△ABC

5、.所以＝.所以＝，解得x＝(mm)，2x＝(mm)．答：加工成的矩形零件的边长分别为mm和mm.将实际问题转化为平面几何问题是解决此题的关键，要注意相似三角形的性质在实际问题中的作用．2．如图，小明欲测量一座古塔的高度，他站在该塔的影子上前后移动，直到他本身影子的顶端正好与塔的影子的顶端重叠，此时他距离该塔18m，已知小明的身高是1.6m，他的影长是2m.(1)图中△ABC与△ADE是否相似？为什么？(2)求古塔的高度．解：(1)△ABC∽△ADE.∵BC⊥AE，DE⊥AE，∴∠ACB＝∠AED＝90°.∵∠A＝∠A，∴△ABC∽△ADE.(2)由(1)得△ABC∽△ADE，∴＝.∵AC＝2m

6、，AE＝2＋18＝20m，BC＝1.6m.∴＝，∴DE＝16m.答：古塔的高度为16m.122017-2018学年高中数学人教B版选修4-1教学案相似三角形性质的综合应用[例3]　如图，已知矩形ABCD的边长AB＝2，BC＝3，点P是AD边上的一动点(P异于A、D)，Q是BC边上的任意一点．连AQ、DQ，过P作PE∥DQ交AQ于E，作PF∥AQ交DQ于F.(1)求证：△APE∽△ADQ；(2)设AP的长为x，试求△PEF的面积S△PEF关于x的函数关系式，并求当P在何处时，S△PEF取得最大值？最大值为多少？(3)当Q在何处时，△ADQ的周长最小？(必须给出确定Q在何处的过程或方法，不必给出证

7、明)[思路点拨]　本题考查相似三角形的判定及性质的综合应用．解答问题(1)只需证明△APE和△ADQ中有两个角对应相等即可；解答问题(2)要注意△ADQ的面积为定值，且S△PEF＝(S△ADQ－S△APE－S△PDF)；解答问题(3)可作点A关于直线BC的对称点A′，利用三点共线解决．[精解详析]　(1)证明：因为PE∥DQ，所以∠APE＝∠ADQ，∠AEP＝∠AQD，所以△APE∽△ADQ.(2