2017-2018学年高中数学人教b版选修4-1教学案：第一章 1.1 1.1.1　相似三角形判定定理

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1、2017-2018学年高中数学人教B版选修4-1教学案_1.1相似三角形1．1.1　相似三角形判定定理[读教材·填要点]1．相似三角形的定义及相关概念如果在两个三角形中，对应角相等、对应边成比例，则这两个三角形叫做相似三角形．设相似三角形对应边的比值为k，则k叫做相似比(或相似系数)．2．相似三角形判定定理(1)判定定理1：两角对应相等的两个三角形相似．(2)判定定理2：三边对应成比例的两个三角形相似．(3)判定定理3：两边对应成比例，并且夹角相等的两个三角形相似．[小问题·大思维]1．两个三角形“相似”与两个三角形“全等”之间有什么关系？提示：两个三角形全等是两个三角形相似的一种特殊情况．相

2、似三角形的本质特征是“具有相同形状”，它们的大小不一定相等，当两个相似三角形的相似比为1时，两个三角形全等．2．如果两个三角形的两边对应成比例，且有一角相等，那么这两个三角形相似吗？提示：不一定．只有当这个角是对应成比例的两边的夹角时，这两个三角形才相似．相似三角形的判定[例1]　如图，若O是△ABC内任一点，D，E，F分别是OA，OB，OC的靠近O的三等分点．求证：△DEF∽△ABC.92017-2018学年高中数学人教B版选修4-1教学案[思路点拨]　本题考查相似三角形判定定理2的应用．解答此题需要根据已知条件，寻找三角形相似的条件．利用三等分点找出对应边成比例即可．[精解详析]　∵D，E

3、，F分别是OA，OB，OC靠近点O的三等分点，∴DE＝AB，EF＝BC，FD＝CA.∴＝＝＝.由三角形相似的判定定理得△DEF∽△ABC.在相似三角形的判定中，应用最多的是判定定理1，因为它的条件最容易寻求，实际证明当中，要特别注意两个三角形的公共角．判定定理2、3则常见于连续两次证明相似时，在第二次使用的情况较多．1．已知△ABC中，BF⊥AC于点F，CE⊥AB于点E，BF和CE相交于点P，求证：(1)△BPE∽△CPF；(2)△EFP∽△BCP.证明：(1)∵BF⊥AC于点F，CE⊥AB于点E，∴∠BFC＝∠CEB.又∵∠CPF＝∠BPE，∴△CPF∽△BPE.(2)由(1)得△CPF∽△

4、BPE，∴＝.又∵∠EPF＝∠BPC，∴△EFP∽△BCP.[例2]　如图所示，∠ABC＝∠CDB＝90°，AC＝a，BC＝b，求当BD与a，b之间满足怎样的关系时，△ABC与△CDB相似？[思路点拨]　由于△ABC与△CDB相似且都是直角三角形，因此，只要对应边成比例即可．而斜边肯定是三角形的最大边，所以AC一定与BC对应，这里要注意分类讨论的运用．[精解详析]　∵∠ABC＝∠CDB＝90°，斜边AC与BC为对应边，以下分两种情况讨论．①当＝时，△ABC∽△CDB，即＝.92017-2018学年高中数学人教B版选修4-1教学案∴BD＝时，△ABC∽△CDB.②当＝时，△ABC∽△BDC，即＝

5、.∴当BD＝时，△ABC∽△BDC.故当BD＝或BD＝时，△ABC与△CDB相似．(1)在证明直角三角形相似时，要特别注意直角这一隐含条件的应用．(2)直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原三角形相似．2．如图，BD、CE是△ABC的高．求证：△ADE∽△ABC.证明：∵BD、CE是△ABC的高，∴∠AEC＝∠ADB＝90°.又∵∠A＝∠A，∴△AEC∽△ADB.∴＝.又∵∠A＝∠A，∴△ADE∽△ABC.相似三角形的应用[例3]　如图，已知在△ABC中，AB＝AC，AD是BC边上的中线，CF∥BA，BF交AD于点P，交AC于点E.求证：BP2＝PE·PF.[思路点拨]　本题考查相似三

6、角形的判定及其应用，解答本题需要注意AD是等腰△ABC底边上的高，所以PB＝PC，从而将所求证的结论转化为PC2＝PE·PF.进而可以证明△92017-2018学年高中数学人教B版选修4-1教学案PCE∽△PFC来解决问题．[精解详析]　连接PC，在△ABC中，因为AB＝AC，D为BC中点，所以AD垂直平分BC.所以PB＝PC，∠1＝∠2.因为AB＝AC，所以∠ABC＝∠ACB，所以∠ABC－∠1＝∠ACB－∠2，即∠3＝∠4.因为CF∥AB，所以∠3＝∠F，所以∠4＝∠F.又因为∠EPC＝∠CPF，所以△PCE∽△PFC，所以＝，所以PC2＝PE·PF.因为PC＝PB，所以PB2＝PE·PF

7、.(1)有两个角对应相等，那么这两个三角形相似，这是判断两个三角形相似最常用的方法，并且根据相等的角的位置，可以确定哪些边是对应边．(2)要说明线段的乘积式ab＝cd，或平方式a2＝bc，一般都是证明比例式＝或＝，再根据比例的基本性质推出乘积式或平方式．3．如图所示，正方形ABCD的边长为1，P是CD边的中点，点Q在线段BC上，当△ADP与△QCP相似时，求BQ的值．解：由题知∠D＝∠C＝90°，