2017-2018学年高中数学人教a版选修4-5教学案：第二讲 一 比较法

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1、2017-2018学年高中数学人教A版选修4-5教学案一比_较_法　　　　　　　　　　　　　对应学生用书P181．作差比较法(1)作差比较法的理论依据a－b>0⇔a>b，a－b<0⇔a0，若>1，则a>b；若<1则a

2、②b<0，若>1则ab.(2)作商比较法解题的一般步骤：①判定a，b符号；②作商；③变形整理；④判定与1大小关系；⑤得出结论．对应学生用书P18作差比较法证明不等式[例1]　已知正数a，b，c成等比数列．求证：a2－b2＋c2≥(a－b＋c)2.[思路点拨]　作差→变形→判定符号→结论证明：因为正数a，b，c成等比数列，所以b2＝ac，b＝，(a2－b2＋c2)－(a－b＋c)2＝a2－b2＋c2－a2－b2－c2＋2ab－2ac＋2bc＝2ab－4b2＋2bc＝2b(a－2b＋c)8201

3、7-2018学年高中数学人教A版选修4-5教学案＝2b(－)2≥0.所以a2－b2＋c2≥(a－b＋c)2.(1)作差比较法中，变形具有承上启下的作用，变形的目的在于判断差的符号，而不用考虑差能否化简或值是多少．(2)变形所用的方法要具体情况具体分析，可以配方，可以因式分解，可以运用一切有效的恒等变形的方法．(3)因式分解是常用的变形手段，为了便于判断“差式”的符号，常将“差式”变形为一个常数，或几个因式积的形式，当所得的“差式”是某字母的二次三项式时，常用配方法判断符号．有时会遇到结果符号不能确定，这时候要

4、对差式进行分类讨论．1．求证：a2＋b2≥2(a－b－1)．证明：a2＋b2－2(a－b－1)＝(a－1)2＋(b＋1)2≥0，∴a2＋b2≥2(a－b－1)．2．已知a，b∈R＋，n∈N＋，求证：(a＋b)(an＋bn)≤2(an＋1＋bn＋1)．证明：∵(a＋b)(an＋bn)－2(an＋1＋bn＋1)＝an＋1＋abn＋ban＋bn＋1－2an＋1－2bn＋1＝a(bn－an)＋b(an－bn)＝(a－b)(bn－an)．(1)若a>b>0时，bn－an<0，a－b＞0，∴(a－b)(bn－an)<0.

5、(2)若b>a>0时，bn－an>0，a－b<0.∴(a－b)(bn－an)<0.(3)若a＝b>0时，(bn－an)(a－b)＝0.综上(1)(2)(3)可知，对于a，b∈R＋，n∈N＋，都有(a＋b)(an＋bn)≤2(an＋1＋bn＋1).作商比较法证明不等式[例2]　设a>0，b>0，求证：aabb≥(ab).[思路点拨]　不等式两端都是指数式，它们的值均为正数，可考虑用求商比较法．82017-2018学年高中数学人教A版选修4-5教学案[证明]　∵aabb>0，(ab)>0，∴＝a·b＝.当a＝b时

6、，显然有＝1；当a>b>0时，>1，>0，所以由指数函数单调性，有>1；当b>a>0时，0<<1，<0，所以由指数函数的单调性，有>1.综上可知，对任意实数a，b，都有aabb≥(ab).当欲证的不等式两端是乘积形式或幂指数形式时，常采用作商比较法，用作商比较法时，如果需要在不等式两边同乘某个数，要注意该数的正负，且最后结果与1比较．3．设a>b>0，求证：>.证明：法一：－＝＝>0，所以原不等式成立．法二：∵a>b>0，故a2>b2>0.故左边>0，右边>0.∴＝＝1＋>1.∴原不等式成立．4．若a＞0，b

7、＞0，c＞0，求证：aabbcc≥(abc).证明：不妨设a≥b≥c≥0，那么由指数函数的性质，有≥1，≥1，≥1.82017-2018学年高中数学人教A版选修4-5教学案所以＝abc＝··≥1.∴原不等式成立.比较法的实际应用[例3]　甲、乙二人同时同地沿同一路线走到同一地点，甲有一半时间以速度m行走，另一半以速度n行走；乙有一半路程以速度m行走，另一半路程以速度n行走．如果m≠n，问甲、乙二人谁先到达指定地点？[思路点拨]　先用m，n表示甲、乙两人走完全程所用时间，再进行比较．[解]　设从出发地点至指定地

8、点的路程为s，甲、乙二人走完这段路程所用的时间分别为t1，t2，依题意有：m＋n＝s，＋＝t2.∴t1＝，t2＝.∴t1－t2＝－＝＝－.其中s，m，n都是正数，且m≠n，∴t1－t2<0.即t1