2017-2018学年高中数学人教b版选修4-5教学案第一章 1．5　1．5.1　比较法

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1、2017-2018学年高中数学人教B版选修4-5同步教学案1．5不等式证明的基本方法1．5.1　比　较　法[读教材·填要点]1．定义要证a>b，只需要证a－b>0；要证a

2、求证：(1)当x∈R时，1＋2x4≥2x3＋x2；(2)当a，b∈(0，＋∞)时，aabb≥(ab).[思路点拨]　(1)利用作差比较法，注意变形分解；(2)利用作商比较法，注意判断底数大小决定商的大小．[精解详析]　(1)法一：(1＋2x4)－(2x3＋x2)＝2x3(x－1)－(x＋1)(x－1)＝(x－1)(2x3－x－1)＝(x－1)(2x3－2x＋x－1)82017-2018学年高中数学人教B版选修4-5同步教学案＝(x－1)[2x(x2－1)＋(x－1)]＝(x－1)2(2x2＋2x＋1)＝(x－1)2≥0，∴1＋2x4≥2x3＋x2.法二：(1＋2x4)－(

3、2x3＋x2)＝x4－2x3＋x2＋x4－2x2＋1＝(x－1)2·x2＋(x2－1)2≥0，∴1＋2x4≥2x3＋x2.(2)＝ab＝，当a＝b时，＝1；当a>b>0时，>1，>0，则>1；当b>a>0时，0<<1，<0，则>1.综上可知，当a，b∈(0，＋∞)时，aabb≥(ab)成立．(1)比较法证明不等式的过程中，变形具有承上启下的作用，变形的目的在于判断差的符号，而不用考虑差能否化简或值是多少．(2)变形所用的方法要具体情况具体分析，可以配方，可以因式分解，可以运用一切有效的恒等变形的方法．(3)因式分解是常用的变形手段，为了便于判断“差式”的符号，常将“差式”

4、变形为一个常数，或几个因式积的形式，当所得的“差式”是某字母的二次三项式时，常用判别式法判断符号．有时会遇到结果符号不能确定，这时候要对差式进行分类讨论．1．已知x>－1，求证：≤1＋.证明：∵x＞－1，∴1＋x>0，>0.82017-2018学年高中数学人教B版选修4-5同步教学案∵－(1＋)＝－＝－－＝－[(x＋1)－2＋1]＝－(－1)2≤0，∴≤1＋.比较法的实际应用[例2]　甲、乙二人同时同地沿同一路线走到同一地点，甲有一半时间以速度m行走，另一半以速度n行走；乙有一半路程以速度m行走，另一半路程以速度n行走．如果m≠n，问甲、乙二人谁先到达指定地点？[思路点拨

5、]　本题考查比较法在实际问题中的应用，解答本题需要设出从出发点到指定地点的路程s，甲、乙二人走完这段路程各自需要的时间t1、t2，然后利用作差法比较t1，t2的大小即可．[精解详析]　设从出发地点至指定地点的路程为s，甲、乙二人走完这段路程所用的时间分别为t1、t2，依题意有：m＋n＝s，＋＝t2.∴t1＝，t2＝.∴t1－t2＝－＝＝－.其中s，m，n都是正数，且m≠n，∴t1－t2＜0，即t1＜t2.从而知甲比乙先到达指定地点．82017-2018学年高中数学人教B版选修4-5同步教学案应用不等式解决问题时，关键是如何把等量关系不等量关系转化为不等式的问题来解决，也就

6、是建立数学模型是解应用题的关键，最后利用不等式的知识来解．解答不等式问题，一般可分为如下步骤：①阅读理解材料；②建立数学模型；③讨论不等式关系；④作出问题结论．2．某人乘出租车从A地到B地，有两种方案．第一种方案：乘起步价为10元，超过规定里程后每千米1.2元的出租车；第二种方案：乘起步价为8元，超过规定里程后每千米1.4元的出租车．按出租车管理条例，在起步价内，不同型号的出租车行驶的路程是相等的，则此人从A地到B地选择哪一种方案比较合适？解：设A地到B地的距离为m千米．起步价内行驶的路程为a千米．显然当m≤a时，选起步价为8元的出租车比较合适．当m>a时，设m＝a＋x(

7、x>0)，乘坐起步价为10元的出租车费用为P(x)元．乘坐起步价为8元的出租车费用为Q(x)元，则P(x)＝10＋1.2x，Q(x)＝8＋1.4x.∵P(x)－Q(x)＝2－0.2x＝0.2(10－x)∴当x>10时，P(x)Q(x)，此时选择起步价为8元的出租车较为合适．当x＝10时，P(x)＝Q(x)，两种出租车任选，费用相同．[对应学生用书P18]一、选择题1．下列关系中对任意a＜b＜0的实数都成立的是(　　)A．a2＜b2　　　　　　　　B．l