专题一 第3讲 二次函数、基本初等函数及函数的应用

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1、第3讲　二次函数、基本初等函数及函数的应用自主学习导引真题感悟1．(2012·四川)函数y＝ax－(a＞0，且a≠1)的图象可能是解析　利用指数函数的图象与性质解答．当a＞1时，y＝ax－为增函数，且在y轴上的截距为0＜1－＜1，排除A，B.当0＜a＜1时，y＝ax－为减函数，且在y轴上的截距为1－＜0，故选D.答案　D2．(2012·湖北)函数f(x)＝xcos2x在区间[0,2π]上的零点的个数为A．2B．3C．4D．5解析　分别判断y＝x和y＝cos2x的零点．y＝x在[0,2π]上的零点为x＝0，y＝co

2、s2x在[0,2π]上的零点x＝，，，，所以f(x)在区间[0,2π]上的零点个数为5.答案　D考题分析对于基本初等函数，高考主要考查其图象与性质，题目较容易；基本初等函数的应用、函数与方程是近几年高考的热点，考查内容一般为函数的实际应用题、函数零点个数的判定或根据零点的个数求参数的范围．题型一般为选择题或填空题，难度中等．网络构建高频考点突破考点一：二次函数【例1】已知函数f(x)＝x2＋2ax＋2，x∈[－5,5]．(1)当a＝－1时，求函数f(x)的最大值和最小值；(2)求实数a的取值范围，使y＝f(x)在

3、区间[－5,5]上是单调函数．[审题导引]　(1)把二次函数式配方并求其最值；(2)利用对称轴与区间的位置关系求a的取值范围．[规范解答]　(1)当a＝－1时，f(x)＝x2－2x＋2＝(x－1)2＋1，x∈[－5,5]，∴x＝1时，f(x)取得最小值1；x＝－5时，f(x)取得最大值37.(2)函数f(x)＝(x＋a)2＋2－a2的图象的对称轴为直线x＝－a，∵y＝f(x)在区间[－5,5]上是单调函数，∴－a≤－5或－a≥5.故a的取值范围是(－∞，－5]∪[5，＋∞)．【规律总结】二次函数最值的求法求二次函

4、数在某段区间上的最值时，要利用好数形结合，特别是含参数的两种类型：“定轴动区间，定区间动轴”的问题，抓住“三点一轴”，三点指的是区间两个端点和区间中点，一轴指的是对称轴．【变式训练】1．若关于x的方程x2＋mx＋1＝0有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是A．(－1,1)B．(－2,2)C．(－∞，－2)∪(2，＋∞)D．(－∞，－1)∪(1，＋∞)解析　由方程x2＋mx＋1＝0有两个不相等的实数根，可得判别式Δ＝m2－4＞0，解得m＞2，或m＜－2，故选C.答案　C2．设二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c，

5、如果f(x1)＝f(x2)(x1≠x2)，则f(x1＋x2)＝A．－　　　B．－　　　C．c　　　D.解析　∵f(x1)＝f(x2)，∴f(x)的对称轴为x0＝－＝，得f(x1＋x2)＝f＝a·＋b·＋c＝c.答案　C考点二：指数函数、对数函数及幂函数【例2】(1)(2012·威海模拟)已知函数f(x)＝loga(2x＋b－1)(a＞0，a≠1)的图象如图所示，则a、b满足的关系是A．0＜a－1＜b－1＜1B．0＜b＜a－1＜1C．0＜b－1＜a＜1D．0＜a－1＜b＜1(2)(2012·运城模拟)已知幂函数y＝

6、xm2－2m－3(m∈N＋)的图象与x轴、y轴无交点且关于原点对称，则m＝________.[审题导引]　(1)利用对数函数的图象特征及指数函数的相关性质解决；(2)令m2－2m－3＜0解不等式，结合函数的奇偶性求得m，但要注意m∈N＋.[规范解答]　(1)由图知函数f(x)的零点x0＞0，即f(x0)＝loga(2x0＋b－1)＝0，得2x0＋b－1＝1，∴b＝2－2x0.∵x0＞0，∴2x0＞1，∴b＜1.由图知f(0)＝loga(20＋b－1)＞－1，且a＞1，∴logab＞－1，即b＞a－1，故0＜a－1

7、＜b＜1.(2)∵幂函数y＝xm2－2m－3(m∈N＋)的图象与x轴、y轴无交点，∴m2－2m－3＝(m－3)(m＋1)＜0，即－1＜m＜3.又m∈N＋，∴m＝1或m＝2，当m＝1时，y＝m－4是偶函数，当m＝2时满足题意．[答案]　(1)D　(2)2【规律总结】利用幂函数、指数函数、对数函数的图象与性质求参数的范围(值)(1)幂、指、对函数的参数一般与其单调性有关，故解题时要特别关注函数的单调性；(2)在涉及函数的图象时，需注意应用函数图象与坐标轴的交点、对称性或函数图象的变换求解．[易错提示]　(1)涉及对数

8、函数与幂函数时，需注意其定义域；(2)在幂函数的有关计算中，要注意参数值的验证．3．若x∈(e－1,1)，a＝lnx，b＝lnx，c＝elnx，则A．c＞b＞aB．b＞a＞cC．a＞b＞cD．b＞c＞a解析　∵x∈(e－1,1)，y＝lnx为(0，＋∞)上的增函数，∴a＝lnx∈(－1,0)，因为y＝x为R上的减函数，且lnx∈(－1,0)，故b＝lnx∈，即b∈(1,2