2004考研数学真题

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1、东方教育在线www.edueast.com.cn2004年考硕数学（二）真题评注一.填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分.把答案填在题中横线上.）（1）设,则的间断点为0.【分析】本题属于确定由极限定义的函数的连续性与间断点.对不同的,先用求极限的方法得出的表达式,再讨论的间断点.【详解】显然当时,;当时,,所以,因为故为的间断点.【评注】本题为常规题型,类似例题见《题型集粹与练习题集》P21【例1.36】（2）设函数由参数方程确定,则曲线向上凸的取值范围为.【分析】判别由参数方程定义的曲线的凹凸性，先用由定义的求出二阶导数,再由确定的取

2、值范围.【详解】,,东方教育在线www.edueast.com.cn令.又单调增,在时,。(时，时，曲线凸.)【评注】本题属新题型.已考过的题型有求参数方程所确定的函数的二阶导数,如1989、1991、1994、2003数二考题，也考过函数的凹凸性.关于参数方程求二阶导数是文登考研辅导班强调的重点,类似例题见《数学复习指南》P53一般方法及【例2.9】和《临考演习》P86【题（10）】.（3）.【分析】利用变量代换法和形式上的牛顿莱布尼兹公式可得所求的广义积分值.【详解1】.【详解2】.【评注】本题为混合广义积分的基本计算题,主要考查广义积分(或

3、定积分)的换元积分法,完全类似的例题见《数学复习指南》P130-131【例4.54】.（4）设函数由方程确定,则.【分析】此题可利用复合函数求偏导法、公式法或全微分公式求解.【详解1】在的两边分别对,求偏导,为的函数.,,从而,所以【详解2】令东方教育在线www.edueast.com.cn则,,,,从而【详解3】利用全微分公式,得即,从而【评注】此题属于典型的隐函数求偏导.相似的例题见《数学复习指南》P282【习题十第2,4题】.（5）微分方程满足的特解为.【分析】此题为一阶线性方程的初值问题.可以利用常数变易法或公式法求出方程的通解,再利用初

4、值条件确定通解中的任意常数而得特解.【详解1】原方程变形为,先求齐次方程的通解:东方教育在线www.edueast.com.cn积分得设为非齐次方程的通解,代入方程得从而,积分得,于是非齐次方程的通解为,故所求通解为.【详解2】原方程变形为,由一阶线性方程通解公式得,从而所求的解为.【评注】此题为求解一阶线性方程的常规题,相似的例题见《临考演习》P62【16题第一问】.（6）设矩阵,矩阵满足,其中为的伴随矩阵,是单位矩阵,则.东方教育在线www.edueast.com.cn【分析】利用伴随矩阵的性质及矩阵乘积的行列式性质求行列式的值.【详解1】,

5、,,.【详解2】由,得【评注】此题是由矩阵方程及矩阵的运算法则求行列式值的一般题型,考点是伴随矩阵的性质和矩阵乘积的行列式.相似的例题见《数学复习指南》P387-888【例2.18】,只需将例中互换.类似例子还可见《临考演习》P48【题(6)】和P66【题(6)】.二.选择题（本题共8小题，每小题4分，满分32分.每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内.）（7）把时的无穷小量,,排列起来,使排在后面的是前一个的高阶无穷小,则正确的排列次序是（A）（B）（C）（D）【分析】对与变限积分有关的极限问题，一般可利

6、用洛必塔法则实现对变限积分的求导并结合无穷小代换求解.东方教育在线www.edueast.com.cn【详解】,即.又,即.从而按要求排列的顺序为,故选（B）.【评注】此题为比较由变限积分定义的无穷小阶的常规题,类似例题见《临考演习》P73【题(7)】.（8）设,则（A）是的极值点,但不是曲线的拐点.（B）不是的极值点,但是曲线的拐点.（C）是的极值点,且是曲线的拐点.（D）不是的极值点,也不是曲线的拐点.【分析】求分段函数的极值点与拐点，按要求只需讨论两方,的符号.【详解】,,,东方教育在线www.edueast.com.cn从而时,凹,时,凸

7、,于是为拐点.又,时,,从而为极小值点.所以,是极值点,是曲线的拐点,故选（C）.【评注】此题是判定分段函数的极值点与拐点的常规题目,类似的题目见文登学校数学考研串讲班资料.（9）等于（A）.（B）.（C）.（D）【分析】将原极限变型，使其对应一函数在一区间上的积分和式。作变换后,从四个选项中选出正确的.【详解】故选（B）.【评注】此题是将无穷和式的极限化为定积分的题型，值得注意的是化为定积分后还必须作一变换,才能化为四选项之一.类似例题见《数学复习指南》P36-37【例1.59】.（10）设函数连续,且,则存在,使得东方教育在线www.edue

8、ast.com.cn（A）在内单调增加.（B）在内单调减小.（C）对任意的有.（D）对任意的有.【分析】可借助于导数的定义及极限的性质讨