结构化学.江元生.答案

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1、第一章量子理论xx1.说明a(x,t)acos2(t)及a(x,t)asin2(t)都是波动方程0022a(x,t)1a(x,t)的解。222xct提示：将a(x,t)代入方程式两端，经过运算后，视其是否相同。x解：利用三角函数的微分公式sin(ax)acos(ax)和cos(ax)asin(ax)，将a(x,t)acos2(t)代入方程：0xx2xx左边2a0cos2(t)a0cos2(t)xxx2xasin2(

2、t)0x22xa0cos2(t)21xa0x右边22a0cos2(t)2cos2(t)ctctta0x2sin2(t)2cxa02x2cos2(t)2cx对于电磁波c，所以a(x,t)acos2(t)是波动方程的一个解。0x对于a(x,t)asin2(t)，可以通过类似的计算而加以证明：022x2x左边asin2(

3、t)asin2(t)x20021xa02x右边asin2(t)2sin2(t)c2t20c242.试根据Planck黑体辐射公式，推证Stefan定律：IT，给出的表示式，并计算它的数值。提示：EE()d,I=cE/40338h18h1解：将E()d3hkTd代入上式，E03hkTdce1ce1作变量代换xh/kT后，上式变为，4445448hkT318hkT8kTE30xxdx

4、333che1ch1515ch544544cc8kT2kT824IE5.6710WmK33234415ch15ch3.说明在长波低频区域=0，Planck公式还原为Rayleigh-Jeans公式。hkT提示：应用Taylor级数展开e。hkT解：在长波低频区域=0，可将e用Taylor级数展开至一阶，hkTe1hkT并代入Planck公式即可得Rayleigh-Jeans公式，3328h18hkT8kTE()d3hkTd3d3dce1chc4.试通过对能量密度函数求极值

5、，推导出Wien位移定律Tb,max3bhc/5k2.910mK。解：本题正确求解的关键是必须明确以波长为变量求得的最大能量密度及波长max和以频率为变量求得的最大能量密度及频率max无对应关系:c=maxmax.现对这两个物理量分别计算如下:(1)求max38h1根据能量密度函数的表示式E()d3hkTd得到,ce13dE()d8h13hkTddce1hkT23hhkT3e13e8hd8hkTc3dehkT1c3hkT2e128hhkT

6、hhkT3hkT23e1kTece1当上述微分为零时能量密度函数取极值(可以证明,取极大值.),即:28hhkThhkT3hkT23e1kTe0ce1=0为平庸根,另一个根由下述方程得到:hkThhkT3e1e0.kThxx令x,上述方程变换为:3(e-1)-xe=0kT通过迭代求解,可得两个根x=0,x=2.82.从而得到关系式Th.2.82kmax(2)求max先将能量密度的表示式变换为波长的函数:38hcd(c/)dE()d8hcE()d3hc/kT

7、5hc/kTce1(1e)对E()求极值:dE()d5hc/kT18hc(1e)dd6hc/kT15hc/kT2hchc/kT8hc5(1e)(1e)2ekT6hc/kThchc/kT8hchc/kT25(1e)e(1e)kThc极值条件为上式等于零.再令y,得