硕士研究生结构有限元课件

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1、第四章弹性力学问题的能量方法概说4.1基本问题与基本方程回顾1.应力与应变张量及其坐标变换（见平面弹性力学一节）2.一般线弹性材料的物理关系在弹性体受力发生变形的过程中，外力要作功；与此同时，弹性体内部贮存能量称为弹性应变能。在等温条件下，弹性应变能在数值上等于外力功，弹性体中的弹性应变能用U表示，单位体积内的弹性应变能用U。表示，即弹性应变能密度函数。根据弹性力学知识，在应力作用下，应变从变到，在单位体积内的应变能则为：（1）在应变从零缓慢地增加到终值的整个加载过程中，对线弹性体上式积分便得到（2）在均质弹性体中，材料性质不随坐标位置而改变，

2、这时弹性应变能是应变分量的函数，且仅于应变的终值有关（全微分）。所以必有：又按照力学作功的概念，有：代入广义虎克定律，并将上式写成矩阵形式：¶对上式第一式关于ey求导；对上式第二式关于ex求导可得：由于能量是关于应变的二次型，所以，关于求导顺序无关，因此得：同理可得：用张量表示为：（共21个独立参数）用矩阵表示为：③关于应变能二次型的表达式：将广义虎克定律代入式（2），用矩阵可表示为：1.应变协调关系：2.更广泛意义上的物理关系（能量积分形式，见虚功原理的恒等表达式）3.弹性力学问题的微分方程4.2虚功原理（弹性体一般能量原理）1.概念①借助物

3、理中的能量守恒原理,建立两类对偶量在各自满足基本条件情况下的可能(积分)关系；②是获得力学计算方法的基础；③其它变分原理证明中用到的工具；可能位移及应变：满足连续性条件及边界条件；可能应力：满足平衡方程(与外力作用维持平衡的应力，含力的边界条件)。2.表达式+=含义：外力在可能位移上的做功等于内力在可能应变上做的功。3.恒等式(将平衡方程代入左端，几何连续条件代入右端)－+=含义：可将对偶量之间看成没有任何关系，但应该满足上述关系方程；这样，上式就可看成是物理关系的另一种表征。4.3最小势能原理（是一种有条件变分原理，只是通过变量的代换，使其最

4、后的变分运算成为无条件变分，即除满足连续性条件外，对偶变量间还需满足一定的物理关系）1.系统势能问题2.最小势能原理的表达3.证明过程4.变分的结果4.4最小余能原理（类似于最小势能原理，属有条件变分原理，满足平衡条件以及力的边界条件，但变分函数不同于势能原理）1.余势能构造2.最小余能原理表述3.证明4.变分结果4.5两类变量广义变分原理上述两类变分原理所涉及的泛函都取最小值，这是它们共同的优点，为突出这个优点，有时把它们通称为最小值原理。但在这两个原理中，自变函数都必须满足一定的条件，用起来有时会感到不方便。广义变分原理中，有关的自变函数可

5、以独立地变化，变分计算不受任何约束，这是它们的共同优点。但同时也带来一个共同的缺点，这就是所涉及的泛函都是驻立值，而不是极值。1.目的：将最小势、余能原理中的条件极值问题转换为无条件极值问题；2.方法：Lagrange乘子。在力学上，还要获得Lagrange乘子的力学含义，这要依据力学问题的分析才能确定。3.Hellinger-Reissner变分原理：是一个两变量（ui，sij）的小变形弹性体力学的无条件变分原理。可以通过Lagrange乘子将最小余能原理中的两个变分约束解除掉而建立起来。余能原理满足的约束条件（应力约束――域内应力平衡方程及

6、力的边界条件）：余能原理的变分结果为：Euler方程及与给定的位移边值条件。即：余应变能对应力导数表示的变形协调条件：和已知位移边界条件：（在上）新泛函的构造；引入两类待定的拉氏乘子和，并认为原余能泛函解除了对应力的约束条件，再应用乘子和上述约束条件构成新的泛函。进行变分（把）看作独立变量，得：利用Green公式：代入上式，得：由于在W内，在Gu上，在Gp上，都是独立的，于是，得:４.结论：获得了Lagrange乘子的力学含义。5.两类变量广义余能的Hellinger-Reissner原理：即为一个两广义变量的无条件变分原理，变量为：。它的变分

7、驻值给出了域内应变协调条件，在边界上（包括力边界和位移边界），给出了自然边界条件。l对空间弹性力学问题，无论什么变分原理，积分号下只存在一阶导数项，因此它的变分原理原理要求自变函数连续即可，即。相对微分方程问题的函数连续性要求简单。l广义变分原理对函数的连续性要求更宽松，可以是广义函数。第五章弹性力学平面问题5.1平面变形(应变)问题1.假设：①(体积力)；(侧表面力)；②、与z轴无关；③侧表面上的位移边值条件与坐标z无关。2.平面变形：(在端面平衡力系(含支反力)作用下)u=u(x,y),v=v(x,y)且w=0,,(与z无关)C2zC1xy

8、3.物理关系(线弹性)空间各向同性=弹性张量：对称性：应力张量:应变张量:张量的Voiget记号：112233122331123456故有:因为；其分