向量复习 答案详解

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1、向量复习教师版1．向量的有关概念(1)向量：既有大小又有方向的量叫向量；向量的大小叫做向量的模．（可以平移）(2)零向量：长度等于0的向量，其方向是任意的．(3)单位向量：长度等于1个单位的向量．(4)平行向量：方向相同或相反的非零向量，又叫共线向量，规定：0与任一向量共线．(5)相等向量：长度相等且方向相同的向量．(6)相反向量：长度相等且方向相反的向量．2．向量的线性运算向量运算定　义法则(或几何意义)运算律加法求两个向量和的运算三角形法则平行四边形法则(1)交换律：a＋b＝b＋a.(2)结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)减法求a与b的

2、相反向量－b的和的运算叫做a与b的差三角形法则a－b＝a＋(－b)3.向量的数乘运算及其几何意义4．共线向量定理向量a(a≠0)与b共线的充要条件是存在唯一一个实数λ，使得b＝λa.1.向量共线的充要条件中要注意“a≠0”，否则λ可能不存在，也可能有无数个．2.证明三点共线问题，同直线，公共点（举例说明）练习：判断下列四个命题：①若a∥b，则a＝b；②若

3、a

4、＝

5、b

6、，则a＝b；③若

7、a

8、＝

9、b

10、，则a∥b；④若a＝b，则

11、a

12、＝

13、b

14、.正确的个数是(　　)．A．1B．2C．3D．4解析　只有④正确．答案　A5．设a与b是两个不共线向量，且向量

15、a＋λb与2a－b共线，则λ＝________.解析　由题意知：a＋λb＝k(2a－b)，则有：∴k＝，λ＝－.答案　－　　考向一　平面向量的概念【例1】►下列命题中正确的是(　　)．A．a与b共线，b与c共线，则a与c也共线B．任意两个相等的非零向量的始点与终点是一个平行四边形的四个顶点C．向量a与b不共线，则a与b都是非零向量D．有相同起点的两个非零向量不平行解析　由于零向量与任一向量都共线，所以A不正确；由于数学中研究的向量是自由向量，所以两个相等的非零向量可以在同一直线上，而此时就构不成四边形，所以B不正确；向量的平行只要求方向相同或相

16、反，与起点是否相同无关，所以D不正确；对于C，其条件以否定形式给出，所以可从其逆否命题来入手考虑，假设a与b不都是非零向量，即a与b中至少有一个是零向量，而由零向量与任一向量都共线，可知a与b共线，符合已知条件，所以有向量a与b不共线，则a与b都是非零向量，故选C.答案　C【训练1】给出下列命题：①若A，B，C，D是不共线的四点，则＝是四边形ABCD为平行四边形的充要条件；②若a＝b，b＝c，则a＝c；③a＝b的充要条件是

17、a

18、＝

19、b

20、且a∥b；④若a与b均为非零向量，则

21、a＋b

22、与

23、a

24、＋

25、b

26、一定相等．其中正确命题的序号是________．

27、解析　①②正确，③④错误．答案　①②考向二　平面向量的线性运算【例2】►如图，D，E，F分别是△ABC的边AB，BC，CA的中点，则(　　)．A.＋＋＝0B.－＋＝0C.＋－＝0D.－－＝0[审题视点]利用平面向量的线性运算并结合图形可求．解析　∵＋＋＝0，∴2＋2＋2＝0，即＋＋＝0.答案　A考向三　共线向量定理及其应用【例3】►设两个非零向量a与b不共线．(1)若＝a＋b，＝2a＋8b，＝3(a－b)．求证：A，B，D三点共线；(2)试确定实数k，使ka＋b和a＋kb共线．[审题视点](1)先证明，共线，再说明它们有一个公共点；(2)利用共

28、线向量定理列出方程组求k.(1)证明　∵＝a＋b，＝2a＋8b，＝3(a－b)．∴＝＋＝2a＋8b＋3(a－b)＝5(a＋b)＝5.∴，共线，又它们有公共点，∴A，B，D三点共线．(2)解　∵ka＋b与a＋kb共线，∴存在实数λ，使ka＋b＝λ(a＋kb)，即(k－λ)a＝(λk－1)b.又a，b是两不共线的非零向量，∴k－λ＝λk－1＝0.∴k2－1＝0.∴k＝±1.【训练3】(2011·兰州模拟)已知a，b是不共线的向量，＝λa＋b，＝a＋μb(λ，μ∈R)，那么A，B，C三点共线的充要条件是(　　)．A．λ＋μ＝2B．λ－μ＝1C．λμ＝

29、－1D．λμ＝1解析　由＝λa＋b，＝a＋μb(λ，μ∈R)及A，B，C三点共线得：＝t，所以λa＋b＝t(a＋μb)＝ta＋tμb，即可得所以λμ＝1.故选D.答案　D　　【示例1】►(2012·泰安十校联考)定义平面向量之间的一种运算“⊙”如下：对任意的a＝(m，n)，b＝(p，q)，令a⊙b＝mq－np，下面说法错误的是(　B　)．A．若a与b共线，则a⊙b＝0B．a⊙b＝b⊙aC．对任意的λ∈R，有(λa)⊙b＝λ(a⊙b)D．(a⊙b)2＋(a·b)2＝

30、a

31、2

32、b

33、2平面向量坐标运算(1)向量加法、减法、数乘向量及向量的模设a＝(x

34、1，y1)，b＝(x2，y2)，则a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)，a－b＝(x1－x2，y1－y2)，λa＝(λx1，λy1)，

35、a

36、＝.(2)向