线性方程组的迭代解法_赖志柱

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1、第三章线性方程组的迭代解法教学目标：1.了解线性代数方程组迭代解法的基本思想，向量序列和矩阵序列收敛的基本思想及相关定理；2.掌握迭代法的构造思想、收敛性和速度（率）以及相关定理；3.在理解Jacobi迭代法和Gauss-Seidel迭代法的原理的基础上，掌握两种迭代法的计算步骤和相互关系，并掌握两种迭代法的收敛性相关定理。4.初步了解超松弛（SOR）迭代法的基本思想。教学重点：1.迭代法的原理、基本思想和序列收敛的概念；2.迭代法的构造、收敛和速率；3.Jacobi迭代法和Gauss-Seidel迭代法的原理、实现步骤和收敛性；教学难点：

2、1.迭代法的构造、收敛和速率；2.Jacobi迭代法和Gauss-Seidel迭代法的原理、实现步骤和收敛性；线性方程组的直接解法，用于阶数不太高的线性方程组效果较好。实际工作中有的线性方程组的阶数很高，用直接法求解效果不是很好。而迭代法与直接法不同，它是通过从某些初始向量出发，用设计好的步骤逐次计算出近似解向量，从而得到向量序列。一般的计算公式为式中与有关，称为多步迭代法。若只与有关，即则称为单步迭代法。现再设是线性的，即其中，称为单步线性迭代法，称为迭代矩阵。若和与无关，即称为单步定常线性迭代法。迭代法的基本思想是用逐次逼近的方法去求线

3、性代数方程组的解。迭代法的关键有：（1）如何构造迭代公式？（2）迭代法产生的向量序列的收敛条件是什么？收敛速度如何？§3.1迭代法的基本概念3.1.1向量序列和矩阵序列的极限为分析迭代法的收敛性，先讨论向量和矩阵序列极限的概念。中向量序列记为，在不引起混淆时就简记为。同理，中矩阵的序列记为或。定义3.1定义了范数的向量空间中，若存在满足，则称收敛于，记为。不难看出，上述向量序列极限的定义形式上依赖于所选择的范数，注意到向量范数的等价性，若对一种范数而言收敛于，则可证明对其它范数而言也是收敛于的，这说明的收敛性与所选择的范数无关。设，，若收敛

4、于，且选用范数，则有从而有即等价于。向量序列的收敛性等价于由向量分量构成的个数列的收敛性，此时也称按分量收敛。定义3.2定义了范数的空间中，若存在使，则称收敛于，记为。同理，的收敛性与所选择的范数无关，而且若记，，则有，定理3.1，。证明：必要性只要注意到对任一种矩阵从属范数都有即可。充分性若取为单位向量，其第个分量为1，其它分量为零。则意味着第列各元素极限为零，依次取即可。证毕下面讨论有矩阵的幂所构成的矩阵序列，即序列，其中。定理3.2设，则下面三个命题等价：（1）；（2），其中为的谱半径；（3）至少存在一种从属的矩阵范数，使。证明：用反

5、证法，假设有一个特征值，满足，则存在特征向量，使得。由此可得，当时向量序列不收敛于零向量，据定理3.1有不收敛于零矩阵，与命题（1）矛盾。若，则，存在一种从属的矩阵范数，使，适当选择，便可使。若，则由可得，从而。定理3.3设，为任一种范数，则。证明：由定理知，从而，而，所以有，对一切成立另一方面，，记，显然有。由定理3.2有，所以存在，使得当时，有即当时，而是任意的，即得定理结论。证毕3.1.2迭代公式的构造设，，非奇异，满足方程组。如果能找到矩阵，向量，使可逆，而且方程组的唯一解就是的解，则可以从构造一个定常的线性迭代公式（3.1）给出，

6、由（3.1）式可以产生，若它有极限，显然就是和的解。定义3.3若迭代公式（3.1）产生的序列满足，则称迭代法（3.1）是收敛的。从出发可以由不同的途径得到各种不同的等价方程组，从而得到不同的迭代法（3.1）。例如，设可以分解为，其中非奇异，则有令，则有，这里的和依赖不同的分解方法。3.1.3迭代法的收敛性设是的解，即有，用与其相减得若记误差向量为，则有由此可推得其中与无关，所以迭代法（3.1）收敛就意味着定理3.4下面三个命题等价：（1）迭代法收敛；（2）；（3）至少存在一种从属的矩阵范数，使。证明：从以上分析，命题（1）中迭代法收敛等价于

7、，有定理3.1，上式成立的充要条件是，再由定理3.2即可。证毕有时实际判别一个迭代法是否收敛，条件是较难检验的。由于，，等可以用的元素来表示，故我们可以考虑用，或来作为收敛的判定，这就是下面的定理：定理3.5设是方程的唯一解，是一种向量范数，对应的从属矩阵范数，则由（3.1）产生的向量序列满足（3.2）（3.3）证明：因为所以有。因为，由定理3.4知迭代法是收敛的，。从可得是非奇异的，且即得（3.2）式。由于再反复运用即可得（3.3）。证毕利用定理3.5做误差估计，一般可取。从（3.2）式可以看到，只要不是很接近1，若相邻两次迭代向量与已近

8、很接近，则与已经相当接近，所以可以用来控制迭代终止。例如，，则有。但是若，即使很小，也不能判定很小。例如，若，，则只能估计到。3.1.4迭代法的收敛速度设迭代法（3.1）收敛，即