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1、第1节空间几何体的结构及三视图和直观图一、多面体的结构特征多面体结构特征棱柱有两个面平行,每相邻两个面的交线都平行且相等棱锥有一个面是多边形,而其余各面都是有一个公共顶点的三角形棱台棱锥被平行于底面的平面所截,截面和底面之间的部分叫做棱台质疑探究1:由棱柱的结构特征可知:棱柱有两个面互相平行,其余各面都是平行四边形,反过来,成立吗?提示:不一定成立,如图所示几何体有两个面互相平行,其余各面都是平行四边形,但不是棱柱.二．旋转体的形成几何体旋转图形旋转轴圆柱矩形矩形一边所在的直线圆锥直角三角形一直角边所在的直
2、线圆台直角梯形直角腰所在的直线球半圆直径所在的直线练习1.用任意一个平面截一个几何体,各个截面都是圆面,则这个几何体一定是(C)(A)圆柱(B)圆锥(C)球体(D)圆柱,圆锥,球体的组合体解析:由球的性质可知用平面截球所得的截面都是圆面.故选C.三、空间几何体的三视图空间几何体的三视图是用正投影得到的,它包括正视图、侧视图、俯视图,练习1.若一个三棱柱的三视图如图所示,其俯视图为正三角形,则这个三棱柱的高和底面边长分别为(D)(A)2,2(B)2,2(C)4,2(D)2,4解析:由三视图可知,此三棱柱的高为
3、2,底面正三角形的高为2,故底面边长为4,故选D.四、空间几何体的直观图的画法空间几何体的直观图常用斜二测画法规则来画,基本步骤是:1.画几何体的底面在已知图形中取互相垂直的x轴、y轴,两轴相交于点O,画直观图时,把它们画成对应的x'轴、y'轴,两轴相交于点O',且使∠x'O'y'=45°(或135°),已知图形中平行于x轴的线段,在直观图中长度保持不变,平行于y轴的线段,长度变为原来的一半.2.画几何体的高在已知图形中过O点作z轴垂直于xOy平面,在直观图中对应的z'轴,也垂直于x'O'y'平面,已知图形
4、中平行于z轴的线段,在直观图中仍平行于z'轴且长度不变.练习1.若△ABC是正三角形,其边长为a.则△ABC的直观图(斜二测画法下的△A'B'C')的面积为.解析:如图所示的实际图形和直观图.由图可知,A'B'=AB=a,O'C'=OC=a,在图中作C'D'⊥A'B'于D',则C'D'=O'C'=a.∴S△A'B'C'=A'B'·C'D'=×a×a=a2.答案：a2一．空间几何体的结构特征【例1】给出下列命题:①棱柱的侧棱都相等,侧面都是全等的平行四边形;②若三棱锥的三条侧棱两两垂直,则其三个侧面也两两垂直
5、;③若有两个过相对侧棱的截面都垂直于底面,则该四棱柱为直四棱柱;④存在每个面都是直角三角形的四面体;⑤棱台的侧棱延长后交于一点.其中正确命题的序号是.解析:①不正确,根据棱柱的定义,棱柱的各个侧面都是平行四边形,但不一定全等;②正确,若三棱锥的三条侧棱两两垂直,则三个侧面构成的三个平面的二面角都是直二面角;③正确,因为两个过相对侧棱的截面的交线平行于侧棱,又垂直于底面;④正确,如图,正方体AC1中的三棱锥C1ABC,四个面都是直角三角形;⑤正确,由棱台的概念可知.答案:②③④⑤变式训练11:下列说法中正确的
6、是()①一个棱柱至少有五个面②用一个平面去截棱锥,底面和截面之间的部分叫棱台③棱台的侧面是等腰梯形④棱柱的侧面是平行四边形(A)①④(B)②③(C)①③(D)②④解析:因为棱柱有两个底面,因此棱柱的面数由侧面个数决定,而侧面个数与底面多边形的边数相等,故面数最少的棱柱为三棱柱有五个面,①正确;②中的截面与底面不一定平行,故②不正确;由于棱台是由棱锥截来的,而棱锥的所有侧棱不一定相等,所以棱台的侧棱不一定都相等,即不一定是等腰梯形,③不正确;由棱柱的定义知④正确,故选A.二．空间几何体的三视图【例2】(201
7、2年高考陕西卷)将正方体(如图(1)所示)截去两个三棱锥,得到图(2)所示的几何体,则该几何体的左视图为()解析:题图中图(2)所示的几何体的左视图可由点A,D,B1,D1确定其外形为正方形,其中从左往右看,D1A能看到为实线,B1C不能看到为虚线.故选B.三．空间几何体的直观图【例3】如图所示,四边形A'B'C'D'是一平面图形的水平放置的斜二测画法的直观图,在斜二测直观图中,四边形A'B'C'D'是一直角梯形,A'B'∥C'D',A'D'⊥C'D',且B'C'与y'轴平行,若A'B'=6,D'C'=4,
8、A'D'=2,求这个平面图形的实际面积.解:根据斜二测直观图画法规则可知该平面图形是直角梯形,且AB=6,CD=4保持不变.由于C'B'=A'D'=2.所以CB=4.故平面图形的实际面积为×(6+4)×4=20.(高考福建卷)一个几何体的三视图形状都相同、大小均相等,那么这个几何体不可以是(D)(A)球(B)三棱锥(C)正方体(D)圆柱解析:一般地,圆柱的正视图是矩形,侧视图是矩形,而俯视图是圆.而球、正方体、三
