九年级数学竞赛几何的定值与最值辅导教案

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1、九年级数学竞赛几何的定值与最值辅导教案【例题就解】【例1】如图，已知AB=10，P是线段AB上任意一点，在AB的同侧分别以AP和PB为边作等边△AP和等边△BPD，则D长度的最小值为．思路点拨如图，作′⊥AB于，DD′⊥AB于D′，DQ⊥′，D2=DQ2+Q2，DQ=AB一常数，当Q越小，D越小，本例也可设AP=，则PB=，从代数角度探求D的最小值．注：从特殊位置与极端位置的研究中易得到启示，常能找到解题突破口，特殊位置与极端位置是指：(1)中点处、垂直位置关系等；(2)端点处、临界位置等．【例2】如图，圆

2、的半径等于正三角形AB的高，此圆在沿底边AB滚动，切点为T，圆交A、B于、N，则对于所有可能的圆的位置而言，TN为的度数（）A．从30°到60°变动B．从60°到90°变动．保持30°不变D．保持60°不变(湖北赛区选拔赛试题)；思路点拨先考虑当圆心在正三角形的顶点时，其弧的度数，再证明一般情形，从而作出判断．注：几何定值与最值问题，一般都是置于动态背景下，动与静是相对的，我们可以研究问题中的变量，考虑当变化的元素运动到特定的位置，使图形变化为特殊图形时，研究的量取得定值与最值．【例3】如图，已知平行四边形

3、ABD，AB=，B=(>)，P为AB边上的一动点，直线DP交B的延长线于Q，求AP+BQ的最小值．(永州市竞赛题)思路点拨设AP=，把AP、BQ分别用的代数式表示，运用不等式(当且仅当时取等号)求最小值．【例4】如图，已知等边△AB内接于圆，在劣弧AB上取异于A、B的点，设直线A与B相交于，直线B与A相交于点N，证明：线段A和BN的乘积与点的选择无关．思路点拨即要证A•BN是一个定值，在图形中△AB的边长是一个定值，说明A•BN与AB有关，从图知AB为△AB与△ANB的公共边，

4、作一个大胆的猜想，A•BN=AB2，从而我们的证明目标更加明确．注：只要探求出定值，那么解题目标明确，定值问题就转化为一般的几何证明问题．【例】已知△XZ是直角边长为1的等腰直角三角形(∠Z=90°)，它的三个顶点分别在等腰Rt△AB(∠=90°)的三边上，求△AB直角边长的最大可能值．(“宇振杯”上海市初中数学竞赛题)思路点拨顶点Z在斜边上或直角边A(或B)上，当顶点Z在斜边AB上时，取x的中点，通过几何不等关系求出直角边的最大值，当顶点Z在(A或B)上时，设X=，Z=，建立，的关系式，运用代

5、数的方法求直角边的最大值．注：数形结合法解几何最值问题，即适当地选取变量，建立几何元素间的函数、方程、不等式等关系，再运用相应的代数知识方法求解．常见的解题途径是：(1)利用一元二次方程必定有解的代数模型，运用判别式求几何最值；(2)构造二次函数求几何最值．学力训练1．如图，正方形ABD的边长为1，点P为边B上任意一点（可与B点或点重合），分别过B、、D作射线AP的垂线，垂足分别是B′、′、D′，则BB′+′+DD′的最大值为，最小值为．(江苏省竞赛题)2．如图，∠AB=4°，角内有一点P，P=10，在角的

6、两边上有两点Q，R(均不同于点)，则△PQR的周长的最小值为．(湖北省黄冈市竞赛题)3．如图，两点A、B在直线N外的同侧，A到N的距离A=8，B到N的距离BD=，D=4，P在直线N上运动，则的最大值等于．(“希望杯”邀请赛试题)4．如图，A点是半圆上一个三等分点，B点是弧AN的中点，P点是直径N上一动点，⊙的半径为1，则AP+BP的最小值为()A．1B．．D．(湖北省荆州市中考题)．如图，圆柱的轴截面ABD是边长为4的正方形，动点P从A点出发，沿看圆柱的侧面移动到B的中点S的最短距离是()A．B．．D．(贵

7、阳市中考题)6．如图、已知矩形ABD，R，P户分别是D、B上的点，E，F分别是AP、RP的中点，当P在B上从B向移动而R不动时，那么下列结论成立的是()A．线段EF的长逐渐增大B．线段EF的长逐渐减小．线段EF的长不改变D．线段EF的长不能确定(桂林市中考题)7．如图，点是线段AB上的任意一点(点不与A、B点重合)，分别以A、B为边在直线AB的同侧作等边三角形AD和等边三角形BE，AE与D相交于点，BD与E相交于点N．(1)求证：N∥AB；(2)若AB的长为l0，当点在线段AB上移动时，是否存在这样的一点，

8、使线段N的长度最长?若存在，请确定点的位置并求出N的长；若不存在，请说明理由．(2002年云南省中考题)8．如图，定长的弦ST在一个以AB为直径的半圆上滑动，是ST的中点，P是S对AB作垂线的垂足，求证：不管ST滑到什么位置，∠SP是一定角．(加拿大数学奥林匹克试题)9．已知△AB是⊙的内接三角形，BT为⊙的切线，B为切点，P为直线AB上一点，过点P作B的平行线交直线BT于点E，交直线A于点F．(1)当点P在线段