蝴蝶效应之-- 临界状态

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1、谈到「混沌理论chaos」，总是离不开「蝴蝶效应butterflyeffect」。可惜一般人对「蝴蝶效应」都有误解，以為当一隻蝴蝶在香港舞动翅膀，可能导致美国在数週后下起大雷雨。事实上，蝴蝶舞动翅膀并不是导致大雷雨的主因，它只是一个导火线。「蝴蝶效应」真实版本是要说明当蝴蝶舞动翅膀所產生的气流，会迅速改变未来的细节(如空气分子的位置或速度)，从而变得跟蝴蝶没有拍打翅膀时的情况不同，因此「混沌」并非解释大雷雨形成(剧变)的答案。哪麼是什麼原因导致大雷雨这类的剧变发生？在上一篇有关「小世界理论」的文章中我所介绍的维吉尼

2、亚大学的物理学家MarkBuchanan，在他另一著作《Ubiguity:WhyCatastrophesHappen？》中揭示了延续「混沌」的新理论----「临界状态criticalstate」。所谓的「临界状态」就是指一个系统处于平衡与非平衡之间的状态，就好像一个足球放在尖形屋顶的顶端，足球随时会滚向左边，但也有相同机率滚向右边，但在事前就是无法预测它会滚向哪一边。「临界状态」实质上是属于「非平衡物理学non-equilibriumphysics」，或说是新兴「复杂理论complexity」的第一个產物。在非平衡

3、的状态下，由事物所形成的交互作用系统经常存有一种自然的数学模式----「幂次定律powerlaw」。「幂次定律」是两个变数之间的数学关系，不是正比，亦非反比，而是一种指数次方的关系，例如：f=v-2从以上公式可看到「f」与「v」两个变数之间存有「-2」次方的幂次定律，而任何出现「幂次定律」的系统，都会存有「临界状态」。在稍后的篇幅将会看到这种幂次定律的数学模式经常会出现在我们的日常生活当中，无论是流动沙堆、股票市场、森林大火、地震模式、人口分佈以及是歷史本身，都会找到幂次定律的踪影。堆沙游戏1987年，三位物理学家

4、PerBak、ChaoTang及KurtWeisenfeld想知道如果有人每次把一粒沙撒在桌面上，最后形成出来的沙堆将会有何特性。他们利用电脑模拟来做研究，发现当沙堆累积到足够高的时候，沙堆的斜坡面将会处于「临界状态」，即使是一小粒的沙粒落在这个斜坡面上时，都会造成一次大规模的沙崩，而使沙堆的高度再次变小。不过，当不断再添加更多沙粒时，沙堆又再次变高，而斜坡面亦再次趋向「临界状态」，形成一种沙堆变大变小的交替模式。而沙堆自动趋向「临界状态」的特性被称為「自组临界状态」。但最惊人之处却是这三位物理学家在堆沙游戏中竟然

5、发现「幂次定律」，就是每当在沙崩中被牵动的沙粒数目增為2倍时，出现这类沙崩的次数将会降為1/2.14，数学表达即是：f=N–1.1f為出现沙崩的次数N為沙崩中被牵动的沙粒数目这种沙堆的「幂次定律」告诉我们，任何规模的沙崩都有可能发生，只是小规模比大规模的发生较多，而且任何规模的沙崩都是由同一个原因引发---一粒小沙。因此并不是有什麼特别因素导致大规模沙崩，无论是大规模还是小规模都是寻常的事。大规模沙崩只是小规模沙崩的放大版本罢了，因此「幂次定律」正暗示著一种「自我相似性self-similarity」，也就是数学裡

6、的「碎形fractal」。在堆沙游戏中我们再次看到「幂次定律」与「临界状态」的亲密关系。堆沙游戏最讽刺的地方是真实的沙堆并不符合「幂次定律」，因為那三位物理学家在设定电脑程式时，高估了沙粒的黏性，因此出来的结果并不适用于沙粒，反而适用于黏性较高的米粒。蕃薯实验1993年三位来自南丹麦大学的物理学家以真实的实验来重复堆沙游戏，但今次用的不是沙粒，而是蕃薯。他们把冰冻了的蕃薯用力丢向墙壁，冻蕃薯应声碎裂成很多的碎块，有大有小。他们细心检视这些碎块，按重量把碎块分成数堆。最后他们也发现当中的「幂次定律」，就是每当碎块重量

7、增為2倍时，出现这类碎块的数目将会降為1/6，数学表达即是：f=w–2.58f為碎块的数目w為碎块的重量你可能会怀疑这些出现「幂次定律」的情况是否一种巧合，那就让我们看更多日常生活中的例子吧。地震当地震所释放的能量增為2倍时，出现这类规模的地震数目将会降為1/4，数学表达即是：f=E–2f為地震的数目E為地震所释放的能量森林大火当火灾面积增為2倍时，出现这类规模的火灾数目将会降為1/2.48，数学表达即是：f=A–1.31f為火灾的数目A為火灾面积城市人口当城市人口增為2倍时，出现这类规模的城市数目将会降為1/4，

8、数学表达即是：f=M–2f為城市的数目M為城市人口股市当股市变动幅度增為2倍时，出现这类幅度的股市变动次数将会降為1/16，数学表达即是：f=h–4f為股市变动的次数h為股市变动幅度个人财富当个人财富增為2倍时，拥有这些财富的人数将会降為1/4，数学表达即是：f=c–2f為人数c為个人财富物种灭绝当物种灭绝的规模增為2倍时，出现这类规模的灭绝次数将会降為1/