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1、谈递推法的几种应用方法摘要：利用递推法关系解决数学问题的方法，成为递推法.所谓递推关系，通常是指一个数列的第项与前面个项，（为正整数，）之间的关系：（）这里，是关于的元函数，通常称为递归函数；递推关系，也常称为阶递归方程.关键字:递推法,组合数,列举累乘法,列举累加法,列举归纳猜想法,不动点法和换元法.递推法的应用及证明步骤:递推法也常用以处理正整数为状态函数的数学问题，诸如递归数列的通项问题，与数列有关的计算问题，证明问题，等等.应用递推法解答数学问题，一般包括两个步骤：第一步：建立递推关系.根据问题的
2、特点，通过观察，试验，归纳，猜想等思维活动，寻求递推关系.第二步：求递推关系.初始值和相应的递推关系，求得所需的结论.例1：计算两类带组合数和的幂和，.解：[1]建立如下两个递推关系：此后，有些读者仍沿着这个途径做相关问题的探讨，如文[2].事实上，利用上面的递推公式，计算与时，我们需要用到与的表达式，计算量是非常大的.9本文给出两个简单的递推关系，利用他们计算出与时，我们反需用到与的表达式.定理1：设为任意的自然数，为大于1的任意整数，则，.证明：对任意自然数，是显然的.利用组合恒等式，我们有由上式即推
3、出.注意到。由定理1，我们很容易计算出.定理2：设为任意自然数，为任意正整数，则.证明：利用组合恒等式，我们有由上式即推出.注意到，由定理2，我们不难计算出，9.例2：设，求的通项公式.解：令，则递推关系式变为.变形后得同理有又由可得把以上各式逐次向上迭代,有消去,即得注意到为方程的两根,有，，.所以,的通项是9上式表达式通常称为斐波那契数列通项的封闭型表达式,有称比内公式.例3(插针问题):在一块木板上,插有甲,乙,丙三根针,已知其中一根针上,由小到大放着片大小不同的圆薄片,最大的一片在最底下;其他两根
4、针上没有放圆薄片.现在要将这片的圆薄片从一根针上移动到另一根针上,且移动时需遵守下列规则:一次只能移动一片;小片始终应放在大片的上面.问完成这个任务至少要移动多少次?思考方法:不妨设甲针放着由小到大的片圆薄片,现在要将这些薄片按题设规则移到乙针上去.设移动片圆薄片至少需要次,那么当时,只要把甲针上的圆薄片直接移动乙针上就可以了,所以.当时,需要先将甲针上较小的圆薄片移动到丙针上,再将甲针上较大的圆薄片移动到乙针上,然后再将丙针上的圆薄片移动到乙针上.因此,.当时,为了叙述的方便,我们把甲针上的圆薄片编号,
5、最小的为I号,中间的为II号,最大的为III号.移动的全过程可以按下列程序进行.I号圆薄片由甲针移到乙针;II号圆薄片由甲针移到丙针;I号圆薄片由乙针移到丙针;III号圆薄片由甲针移到乙针;I号圆薄片由丙针移到甲针;II号圆薄片由丙针移到乙针;I号圆薄片由甲针移到乙针;这样,.通过考察时等特殊情形,我们不难发现,当甲针上有片圆薄片时,我们必须先把上面的片移到丙针上,再把最大的一片移到乙针上,然后又那这9片移到已放好最大一片的乙针上.因此,有递推关系所以㈠令,则且㈠式变为㈡㈡式表明,是首项为2,公比为2的等
6、比数列.因此.即把片圆薄片从一根针移动到另一根针上,至少得移动次.递推法在数列应用中的方法:而递推法应用在数列求和时则更明显.解法有列举累乘法，列举累加法，列举归纳猜想法，不动点法和换元法.⑴列举累乘法：例4：在数列中，，求解：由递推关系式，我们从进行列举，则有把上述列举各式相乘，化简，得得即.⑵列举累加法例5：已知数列满足，①且，求的通项.9思考方法：①式中和的系数相等，可利用初始值和递推关系建立循环方程，然后对其相加消元.解：在递推关系①中，从进行列举，有，，.各式相加，并注意到，得列举归纳猜想法：例
7、6：已知数列满足，②且，求解法一：②式中，用替换，得，③②-③，得，④④式表明，阶差数列是一个以为首项，为公比的等比数列，所以，⑤⑤式中从进行列举，有，9，。各式相加，并注意到，，得.解法二：依题设，有，，，据此，可以猜想9⑥下面我们用数学归纳法来证明猜想的真实性.⑴当时，，⑥式显然成立.⑵假设当时⑥式成立，即假设，那么，当时，依递推关系②，有这表明，当时，⑥式也成立.根据⑴和⑵，对于任意的自然数，猜想为真，即所求通项公式为.以上解法二就是所谓的列举归纳猜想法不动点法和换元法：例7：已知数列的首项，且，⑦
8、试求的通项公式.解：令，则9⑧将⑧式代入⑦中，有化简整理，得⑨注意到，有⑨式即得所以.这里，.由求得不动点，于是.注意到，则数列是首项为，公比为的等比数列，有.所以.从而.参考文献:[1]样克昌.两类组合数和式的递推求解[J]数学通报1998,3:38-39[2]郑德印.王欣.分母含组合数的两类幂和的递推求解[J]数学通报2002，6:9
