非线性有限元(任青文)

《非线性有限元(任青文)》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在学术论文-天天文库。

1、第一章绪论1.1引言有限单元法已成为一种强有力的数值解法来解决工程中遇到的大量问题，其应用范围从固体到流体，从静力到动力，从力学问题到非力学问题。事实上，有限单元法已经成为在已知边界条件和初始条件下求解偏微分方程组的一般数值方法。对于有限元的线性分析，我们已经比较熟悉，它已作为设计工具被广泛采用。但绝大多数实际问题属于非线性问题，根据产生非线性的原因，非线性问题主要有三种类型：1．材料非线性(简称材料非线性或物理非线性)其特点是应力σ与应变ε之间为非线性关系，通常与加载历史有关，加载和卸载不是同一途径（图1.1），因

2、而其物理方程σ=Dε中的弹性矩阵D是应变ε的函数。但材料非线性问题仍属于小变形问题，位移和应变是微量，其几何方程是线性的。土、岩石、混凝土等具有典型的材料非线性性质，所以，土坝、岩土地基的稳定性和加固，地下洞室和边坡的稳定性都应当按材料非线性问题处理。2．几何非线性几何非线性属于大变形问题，位移和应变或者它们中一个是有限量。可能会有三种情况:大位移(包括线位移和角位移)、小应变，小位移、大应变和大位移、大应变。此时反映应变和位移关系的几何方程是非线性方程，例如，正应变ε可表示为z∂u1∂u2∂v2∂w2ε=+[()+

3、()+()]+??x∂x2∂x∂x∂x剪应变γ表示为xy∂v∂u∂u∂u∂v∂v∂w∂wγ=+++++??xy∂x∂y∂x∂y∂x∂y∂x∂y如果应力和应变之间的关系也是非线性的，就变成了更复杂的双重非线性问题。不过，在几何非线性问题中一般都认为应力在弹性范围内，σ与ε之间呈线性关系。工程中的实体结构和板壳结构都存在几何非线性问题，例如弹性薄壳的大挠度分析，压杆或板壳在弹性屈曲后的稳定性问题。在采用有限元方法分析非线性问题时，以上两类都表现为结构的整体劲度矩阵K不再是常量矩阵，而是结点位移δ的函数，还有一类问题是结点

4、荷载R与δ有关，这就是边界非线性问题，又称接触非线性。3．接触非线性由于接触体的变形和接触边界的摩擦作用，使得部分边界条件随加载过程而变化，且不可恢复。这种由边界条件的可变性和不可逆性产生的非线性问题，称为接触非线性。工程中有许多接触非线性的问题，如混凝土坝纵缝和横缝缝面的接触，面板堆石坝中钢筋混凝土面板与垫层之间的接触，岩体节理面或裂隙面的工作状态等。目前，研究工程非线性问题比较有效的工具是非线性有限元方法。要使这一方法实用化，有两个问题必须解决。第一，由于非线性问题的数值计算工作量大大增加，需要有相当大计1算能力

5、的工具。近10年来，高速计算机的发展已基本上满足了这一需要，同时计算费用也在继续减小。第二，非线性求解方法的精度和收敛性必须被验证。由于发展和改进了多种类型的单元，以更好地模拟结构的工作，找到更有效的非线性求解方法，并且积累了许多经验可应用于实际工程问题，现在已经能够比较有把握地完成非线性有限元分析。非线性有限元方法正在成为一种强有力的计算工具被研究人员和工程人员所采用。1.2线弹性有限元方法的回顾一般来说，非线性有限元法可归结为一系列线弹性问题。因而，线弹性有限元是非线性有限元法的基础。两者不仅在分析方法和求解步骤

6、上有相似之处，而且后者要不断调用前者的结果。为此，本节将扼要地回顾一下线弹性有限元方法（以位移有限元为例）。线弹性有限元的分析步骤大致可分：1．结构的离散化(a)轴对称圆筒(b)取1/4结构离散图1.2圆筒有限元离散在有限元分析中，首先要将连续体剖分成有限个结点上相联的单元（图1.2），单元之间的力依靠结点传递，铰接结点只能传递力，刚接结点可以传递力和力矩。根据结构的形状和计算要求，可以选择各种单元类型，图1.2采用了八结点六面体的空间等参单元。在位移有限元中，以结点的位移δ为基本未知量。设结构离散后，总的自由度数为

7、n，则整体的结点位移向量为Tδ=[δδ??δ](1-1)12n单元的结点位移向量为eTδ=[uvwuvw??uvw](1-2)111222dddd是单元的结点数。连续体离散后，还需要对位移边界进行约束处理，将连续的位移边界条件离散为结点的位移边界条件。例如，位移为零的边界可处理为该边界上的结点具有铰支座（图1.2）。2．单元分析根据所选择的单元类型，确定单元的位移模式，将外荷载转化为等效结点荷载列阵，导出单元的应变、应力矩阵及劲度矩阵。(1)单元位移模式2[1]采用广义坐标法或Seredipity方法导出位移插值函数

8、Ni的表达式，就可以建立单元内任Te一点的位移f=[uvw]与单元结点位移δ之间的关系：ef=Nδ(1-3)Ni反映了单元内位移的分布形状，所以又称形函数。对于d个结点的三维单元，⎡N100N200Nd00⎤⎢⎥N=0N00N0??0N0(1-4)⎢12d⎥⎢00N00N00N⎥⎣12d⎦N是整体坐标（xyz）的函数，对于图1-3i所示的等参单