罗素悖论提出的背景研究

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1、精选公文范文管理资料罗素悖论提出的背景研究　　1902年6月16日，罗素的着作《数学原理》(PrinciplesofMathematics)发表前夕，他给弗雷格写了一封信，信中写道:“我在读您的着作《算术基础》(GrundgesetzederArithmetik)时发现一个困境……。”他提到的这个困境可以描述为:设谓词w表示:不能描述自己的谓词。那么w能不能描述自己呢?无论肯定还是否定的回答都会推出反面，因此我们只能说w不是一个谓词。　　罗素从这个困境想到了另一个看似不同但更一般的问题:由所有不属于自己的集合组成的类也存在同样的困境。因

2、此，由这些不属于自身的集合(每个都是一个总体)形成的类(总体)是不存在的。这样，我们可以得出结论:[键入文字][键入文字][键入文字]精选公文范文管理资料按照这种方式定义形成的类不能作为一个总体。　　实际上，他们是两个截然不同的问题。第一个问题涉及到谓词，一个不能描述自己的谓词。正如弗雷格在关于概念和对象的理论中描述的那样，他在给罗素的回复中也强调，如果严格区分个体能够满足的谓词和谓词能够满足的(高阶)谓词的话，那么考虑自己描述自己的谓词是没有意义的。“不能描述自己的谓词”是不存在的，因此，悖论也就不会发生。　　当时，罗素并没有接受概念

3、需要分类型的想法，而仅仅在《数学原理》的附录B中提到这种可能性。对于罗素来说，第一个悖论是最重要的。他只是在考虑其他理论，比如弗雷格的理论时，才在这些理论中描述第二个悖论的相关形式。相反地，弗雷格却立刻意识到第二个悖论揭示出了他的系统中存在的问题。　　仅仅6天之后，6月22日，弗雷格马上给罗素写了回信，信中这样写道:看来一个等式的一般形式不一定总能写成赋值过程的等式①，我提出的基本定律V②是错的，§31[键入文字][键入文字][键入文字]精选公文范文管理资料中的解释也不足以保证我给出的符号组合在任何情况下都有意义。　　罗素的确是在考虑康

4、托定理时想到了这个悖论。在康托定理中，如果万有集存在，那么对于任意一个集合，都不存在它的幂集(所有子集的集合)到该集合的一一映射。在康托定理的证明中，所有不包含自身的集合构成的悖论集是在万有集的幂集上添加得到的。然而罗素自己并没有意识到康托集合中的这个问题，当他最早在《数学原理》中提到这个悖论时，类被称为“类概念”，实际上是用来表示类中的元素。类中的元素可以是一个或多个，而恰恰是在只有一个元素的类中，这个元素可以作为这个类的代表。这样，“不能描述自身”这个谓词正好可以用在它自身上，这就导致了矛盾的产生。　　本文会追溯第二个悖论更早一点的

5、历史，这个悖论是由策梅罗(Zermelo)预言的。E.施罗德(ErnstSchrder)[键入文字][键入文字][键入文字]精选公文范文管理资料引发了这个问题的讨论，后来弗雷格，胡塞尔都参与了讨论。最终，它出现在策梅罗给弗雷格的信中，同时希尔伯特也得出了他自己的形式。因此，说起这个悖论的历史，远比罗素给弗雷格写信的时间更早。罗素只是对悖论的第一种形式感兴趣，他写信给弗雷格只是为了说明弗雷格的《算术基础》中也有类似的问题。　　讨论谁先提出悖论的第二形式就像介入了数学家们关于“首发现”的争论，但它确实引出了逻辑史上的一系列趣事，有些被大家

6、所熟知，但之前并没有被联系起来。其中最有名的“首发现”声明是策梅罗于1908年在他的论文《良序可能性的新证明》(“Anewproofofthepossibilityofawell-ordering”)中提出的。当策梅罗提到罗素的《数学原理》中的“集合论悖论”时，他加了一个脚注(编号9):……然而，我已经独立于罗素发现了这个悖论，并于1903年之前就与希尔伯特教授等人讨论过。③1903年希尔伯特在给弗雷格的信中，除了感谢弗雷格提供《算术基础》第二卷中关于罗素悖论的讨论的副本外，希尔伯特还提到他在几年前就听策梅罗提起过这个悖论。这一点恰好印

7、证了策梅罗的声明。实际上，希尔伯特自己也提出过类似的悖论，是关于数的集合到其自身的所有[键入文字][键入文字][键入文字]精选公文范文管理资料“自映射”序列所构成的集合。希尔伯特用对角线法证明了不存在这样的“自映射”④在策梅罗的传记中，艾宾浩斯沿袭了“哥廷根”的惯例，把这个悖论的发现归功于策梅罗一个人。(实际上，艾宾浩斯在传记中更倾向于使用A.弗莱恩克(AbrahamFraenkel)给出的术语“策梅罗———罗素悖论”⑤。)“希尔伯特悖论”和“策梅罗悖论”很相似，同样证明了某种集合不存在。但在“希尔伯特悖论”构造的集合中，可以给出标准集

8、合论的运算。我们可以根据希尔伯特1905年7月10日的讲稿重新构建这个悖论⑥。希尔伯特通过构造数集M上的自映射构成的集合到数集M的映射，然后使用集合论的两个原理推出了矛盾。第一个集合论的原理允许我们“把几个