罗素悖论与不可判定问题

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1、42第六章罗素悖论与不可判定问题第六章罗素悖论与不可判定问题§6.1罗素悖论及其彻底消除方法6.1.1罗素悖论与已有解决方法简述1902年罗素、策梅罗发现了集合论中的一个重要的“策梅罗——罗素悖论”。关于这个悖论黄耀枢著《数学基础引论》（北京大学出版社，1987年出版）118-119页作了如下叙述。“依逻辑二分法，可把集合分为两类：第一类：非正常集合。例如：所有集合的集合、所有观念的集合，都是非正常的集合。这类集合的特点是：集合本身也可以作为自己的一个元素。所以可以作如下的定义：定义1如果是非正常集合，当且仅当可以包括自己作为一个元素。通常把满足

2、非正常集合的条件记为：。第二类：正常集合。例如：所有中国人组成的集合、所有自然数组成的集合、所有拉丁字母组成的集合等都是正常集合。这类集合的特点是：集合本身不能作为自己的一个元素。所以可以给正常集合作如下一个定义：定义2如果是一个正常集合，当且仅当集合本身不是自己的一个元素。通常把满足正常集合的条件记为：。现在设：所有不以自己为元素的集合组成一集合R,即令所有正常集合组成一集合R。亦即。那么集合R包不包含自身？或者说集合R是属于第一类集合还是属于第二类集合？”结果得到：“集合R包含在R中当且仅当R不包含在R中的矛盾”。为了解决集合论中的悖论，在罗

3、素的《数学原理》中建立了逻辑类型轮。其中一个内容说的是：‘应消除这种表示“非正常总体”的“所有集合的集合R”的假设’(这句话摘自黄耀枢著《数学基础引论》265页)。这是罗素对集合论研究的有益且有用的贡献；但是，罗素没有能够用纯粹逻辑方法建立起集合理论，在如何对待无穷集合问题上，他不是使用笔者的“自然数集合是一个（不同于有穷集合的）理想的非正常集合”的做法，而是采用了“无穷公理”。这个公理的采用，实质上是采用了康托尔的“实无穷”观点，也可以说是采用了“肯定了自然数无穷总体的存在”、“所有数学对象的无穷总体都可以和通常的一个数学对象那样来处理”（这两

4、句话摘自黄耀枢著《数学基础引论》305页）的柏拉图主意者的观点。在这种情况下，经过许多学者的努力，又建立了ZFC公理集合论。在公理集合论中，根据“分出公理”使用排中律证明了“任何一集合S必有一子集合不是S的元素”的定理和“不存在一个由所有集合组成的集合”的推论（这个定理与推论摘自黄耀枢著《数学基础引论》133—134页）。这样一来，支持公理集合论的学者，就认为：集合论中的矛盾被消除了。笔者对此有两点怀疑：第一，涉及无穷多事物时，存在着不可判定的问题；这个问题的存在说明：排中律不能随便使用；只有事先判定它是“真假二值性问题”时，才可以使用排中律。但

5、是，在上述定理与推论的证明中在没有判明是不是可判定的情况下就使用了排中律（参看上述文献134页），所以笔者对公理集合论中的上述结论怀疑。第二，在集合论中把自然数看作是集合的基数，又把自然数的全体看作一个集合，这种做法是不是意味着“自然数集合是所有集合的集合”，即罗素悖论是不是还没有被消除？这是笔者的第二点怀疑。6.1.2罗素性质的一个新悖论总之，笔者认为：在承认无穷公理之后，不能保证类似于罗素悖论的新的悖论不会出现。究竟如何呢？2007年笔者曾将东陆论坛数学分析区上一个同志提出的悖论简述与改写如下。考虑两个集合：第一个集合为自然数集合：Ｎ＝｛0，

6、1，2，3，4，5，…，n，…}；第二个集合为：.(式中，4242第六章罗素悖论与不可判定问题。)在上面的两个集合之中，第一个集合Ｎ为自然数的全体集合，在这个集合之中，包含有全部所有的自然数．第二个集合Ｍ是自然数的分段集合的并集；从这里可以看出：Ｍ中也包含有所有的自然数，Ｍ中的任何一个元素也全都是Ｎ中的元素，所以Ｍ＝Ｎ；或者说Ｍ与Ｎ是同一个集合．从集合Ｎ与集合Ｍ的构成上，做一一对应：0对应，１对应，２对应，３对应，…，n 对应，…．然后：采用“自然数区间套进”的方法来进行分析：将相并得：，在这个集合之中不仅包含有Ｎ中的原象0，１，２，而且还包含着

7、0，１，２对应的象的并集合中的元素3和４；原象集合｛0，１，２｝是象集合中的一个真子集．将相并得：在这个集合之中也是不仅包含有Ｎ中的原象0，１，２，３以及0，１，２，３对应的象的并集合中的元素４，5，６，原象集合｛0，１，２，３｝是中的一个真子集．…，依此类推：原象集合｛0，１，２，３，…，n｝是并集合中的一个真子集，…。所有原象Ｎ=｛0，１，２，３，…，n，…}是并集合一个真子集。即原象集合Ｎ是集合Ｍ的真子集．由此便会产生一个矛盾：根据真子集的定义：如果集合Ｎ是集合Ｍ的真子集，则必有M中的一个元素x不属于集合Ｎ，但根据这个元素属于集合Ｍ的性质，

8、这个x为自然数，那么这个不属于Ｎ的自然数x，属不属于Ｎ？根据真子集的定义，x不属于Ｎ，但根据自然数集的定义：自然数集是包含所有自然数的集