高中奥数解题思想

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1、解竞赛题的思想和方法数学竞赛也就是解题的竞赛，只有通过问题才能学会解题。要提高解题能力，必须反复练习，在解各类题中，善于总结，不仅要寻找各种不同的解法，更要找出最佳的方法，应当注意数学的思想与数学的美，不断提高我们的鉴赏能力，注意简捷明快，一针见血。本讲中，我们选编了国内外一些值得欣赏的竞赛题，有些题多给几种解法，灵活运用数学基础知识去进行探索与尝试，以展现思维的过程，并且以资比较，尽力寻求完美的解法。希望参加数学竞赛的学生们多掌握些解题的思考方法，对数学的认识深度就会有所提高，随之而来，解题能力的增强就会有所突破，也就可能在各类数学竞赛中大显身手。例1设有两个属于区间[2，3]的实数根.

2、（1）证明存在一个以为边长的三角形；（2）证明.分析与解充分挖掘条件中的隐含信息，把有利于解题的数量关系和直观表象显示出来，另外，又要把结论关系式分拆，两者结合起来，打通解决问题的通道.由是开口向上的抛物线，且，，24.即给出关于的不等式组：②①④③考虑给出结论中能构成三角形的充分条件，我们充分利用不等式组中的关系.由①，③可知，即。另一方面，由④知.下面证明.事实上，由③知，，.故存在以为边长的三角形.24（2）由于，所以.2424例3已知为正数且.求表达式的最小值.24解法1构造一个，使其三边长分别为.则半周长，的面积另一方面，①当且仅当时取等号，此时，化简，得.②构造一组实数，满足②

3、，即①式等号成立，所以有最小值2.解法2应用均值不等式，得不等式中等号成立的条件是.此式为解法1中的式②，以下同解法1.换元法：解数学题时，我们常常对变量作替换，这就是换元，通过换元，把原来的问题转化成另一类问题，以达到化难为易，从而帮助解题.24例4设是正实数，且满足，求的最大值.解由已知条件得.虽然，，所以.由此联想到正切和角公式，于是令.则.由于，所以，于是.24等号在，即时成立，故欲求的最大值为.例5△ABC的三边满足条件,证明:.证明因为,所以,欲证的不等式等价于.构造一个辅助函数.一方面24,所以；另一方面因是三角形的三条边长，所以，均为正数,利用平均不等式,有,所以24,即.

4、本题我们巧妙地构造了一个辅助函数,通过从两个方面来考察，使问题得到了证明.构造辅助函数是数学中经常使用的方法,主要是通过构造函数,把问题转化、进而对所作函数的性质进行研究,从而达到目的.例6设为大于或等于3的整数，证明：在平面上存在一个由个点组成的集合，集合中任两点的距离为无理数，任三点组成一个非退化的面积为有理数的三角形.分析在平面上由个点组成的集合无限多，我们可以考虑一类特殊的点集——由整数点（纵坐标与横坐标均为整数）构成的集合，只要在其中构成满足题目条件的点集，也就解答了此题，进一步特殊化，考虑无穷点集.证明考虑无穷点集24.中任两点，的距离为：.由于不是完全平方数，从而为无理数.即

5、中任两点的距离为无理数.另一方面，由于点集中的点都在抛物线上，又直线与抛物线的交点不多于两个，故中任意三点不共线，而对于中任意三点（不妨设）所形成三角形的面积为非零有理数.所以，中任意个点所成集合即为所求点集，问题得证.说明本问题的解决过程中运用了构造特殊集合转化问题，将“在平面内存在某种点集”的问题特殊化为“在它的某个子集S中存在这种点集”的问题，后者的解决使原问题获证.这种解决策略常称为特殊化策略.即视原问题为一般问题，构造其特殊问题，通过对特殊问题的解决而获得原问题的解决.24特殊化作为化归策略，基本思想是很简单的：相对于“一般”而言，“特殊”问题往往显得简单、直观和具体，容易解决.

6、并且在特殊问题的解决过程中，常常孕育着一般问题的解决思想，因此，当我们在对某个一般性的数学问题解决有困难时，常常会想到先解决它的特殊情况，然后再把解决特殊情况的方法或结果应用或推广到一般问题中，而获得一般性问题的解决.特殊化策略的关键是能否找到一个最佳的特殊化问题.例7求方程的全部实数解，其中为实数参数。解若，则，此时原方程无解，故可设，并且再将方程形式变为平方并整理，得再平方并整理，得易知必须满足，并且此时只可能有解24代入原方程并化简，得于是有综上所述，当且仅当时方程有唯一解.例8解方程.分析和解若去根号，得四次方程难于求解，而且难于确定a在何范围时有解。现用代换法，命则得两式相减,,

7、或.（1）若，由于，只有，由知，这是一般情形.（2）若，则得,.24欲使方程有实数根，须，得进而.因，舍去负数，且要，即，,须，从而解为：（）此题求解过程告诉我们：为了减一层根号，应不惜以“增一元”为代价。另外，就是不急于消元，而是先消常数a，否则，就会走回头路。例9解方程.分析和解由于系数排列呈对称形式，故若是根，亦然，故谓之倒数方程，其解法是倒数化：两边同除以：由于，令，原方程化为24，.解得实根.例10设a,b是实