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1、五．简答题（每题4分）1、设是一个拓扑空间，是的子集，且.试说明.答案：对于任意,设是的任何一个邻域，则有,由于，从而，因此，故.2、设都是拓扑空间.,都是连续映射，试说明也是连续映射.答案：设是的任意一个开集，由于是一个连续映射，从而是的一个开集，由是连续映射，故是的一开集，因此是的开集，所以是连续映射.3、设是一个拓扑空间，.试说明：若是一个闭集，则的补集是一个开集.答案：对于,则，由于是一个闭集，从而有一个邻域使得,因此，即,所以对任何,是的一个邻域，这说明是一个开集.4、设是一个拓扑空间，.试说明：若的补集是一个开集，则是一个闭集.答案：设,
2、则,由于是一个开集，所以是的一个邻域，且满足,因此,从而,即有，这说明是一个闭集.5、在实数空间R中给定如下等价关系：或者或者20设在这个等价关系下得到的商集,试写出的商拓扑T.答案：6、在实数空间R中给定如下等价关系:或者或者 设在这个等价关系下得到的商集,试写出的商拓扑T.答案：7、在实数空间R中给定如下等价关系：或者或者设在这个等价关系下得到的商集,试写出的商拓扑T.答案：8、在实数空间R中给定如下等价关系：或者或者设在这个等价关系下得到的商集,试写出的商拓扑T.答案：9、在实数空间R中给定如下等价关系:20或者或者 设在这个等价关系下得到
3、的商集,试写出的商拓扑T.答案：10、在实数空间R中给定如下等价关系:或者或者 设在这个等价关系下得到的商集,试写出的商拓扑T.答案：11、在实数空间R中给定如下等价关系:或者或者 设在这个等价关系下得到的商集,试写出的商拓扑T.答案：12、离散空间是否为空间?说出你的理由.答案：因为离散空间的每一个基必定包含着单点集，所以包含着不可数多个点的离散空间不是空间.至多含有可数多个点的离散空间是空间.13、试说明实数空间是可分空间.答案:因为是可数集，且的任何一个非空的开集至少包含一个球形邻域,从而与Q都有非空的交，因此，故实数空间20是可分空间.1
4、4、试说明每一个度量空间都满足第一可数性公理.答案:设是一个度量空间,对，则所有的以为中心，以正有理数为半径的球形邻域构成处的一个可数邻域基，从而满足第一可数性公理.15、设是一个空间，试说明的每一个单点集是闭集.答案：对，由于是空间，从而对每一个，点有一个邻域使得，即，故，因此,这说明单点集是一个闭集.16、设是一个拓扑空间，若的每一个单点集都是闭集，试说明是一个空间.答案：对于任意，都是闭集，从而和分别是和的开邻域，并且有,.从而是一个空间.17、设是一个空间，是任何一个不属于的元素.令和，试说明拓扑空间是一个空间.答案：对任意,若,都不是，则.
5、由于是一个空间，从而各有一个开邻域,使得;若,中有一个是，不妨设,则有开邻域不包含.由以上的讨论知，对中任意两个不同点必有一个点有一个开邻域不包含另一点，从而是空间.18、若是一个正则空间，试说明：对及的每一个开邻域20，都存在的一个开邻域,使得.答案:对,设是的任何一个开邻域，则的补集是一个不包含点的一个闭集.由于是一个正则空间，于是和分别有开邻域和,使得，因此，所以.19、若是一个正规空间，试说明：对的任何一个闭集及的每一个开邻域，都存在的一个开邻域,使得.答案：设是的任何一个闭集，若是空集，则结论显然成立.下设不是空集，则对的任何一个开邻域，则
6、的补集是一个不包含点的一个闭集.由于是一个正规空间，于是和分别有开邻域和,使得，因此，所以.20、试说明空间的任何一个子集的导集都是闭集.答案：设是的任何一个子集，若是空集，则，从而的导集是闭集.下设不是空集，则对,则有开邻域,使得，由于是空间，从而是开集，故,于是,所以是它每一点的邻域，故是开集，因此是闭集.21、试说明紧致空间的无穷子集必有凝聚点.答案：如果的无穷子集的没有凝聚点，则对于任意，有开邻域，使得，于是的开覆盖没有有限子覆盖，从而不是紧致空间，矛盾.故紧致空间的无穷子集必有凝聚点.2022、如果是紧致空间，则是紧致空间.答案：考虑投射，
7、由于是一个连续的满射，从而由紧致知是一个紧致空间.23、如果是紧致空间，则是紧致空间.答案：考虑投射，由于是一个连续的满射，从而由紧致知是一个紧致空间.24、试说明紧致空间的每一个闭子集都是紧致子集.答案：如果A是的任意一个由中的开集构成的覆盖，则是的一个开覆盖.设是的一个有限子族并且覆盖.则便是A的一个有限子族并且覆盖，从而是紧致子集.六、证明题（每题8分）1、设是从连通空间到拓扑空间的一个连续映射.则是的一个连通子集.证明：如果是的一个不连通子集，则存在的非空隔离子集使得……………………………………………3分于是是的非空子集，并且：所以是的非空隔
8、离子集此外，，这说明不连通，矛盾.从而是的一个连通子集.…………………………8分2、设是拓扑空间的一个连通子
