恰有7个部分的n-分拆的计数

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1、万方数据2009年3月第26卷第l期广西师范学院学报(自然科学版)M盯．2009阳帅aIofG咖班i融llel苫Ed嘞tionUIIiV哪ity(N咖咖scI∞艚髓itl叽)voI．26№．1文章编号：1002—8743(2009)01—0051—07恰有7个部分的咒一分拆的计数邢林燕，尤利华(华南师范大学数学科学学院，广东广州510631)摘要：设竹是正整数，竹一分拆是指将”表为一个或多个正整数的和的形式．两个和式若仅有加数顺序的差异则视为相同的分拆．称和式中的每个加数为这个恕一分拆的一个部分．以P，(，z)表示部分数为厂的咒一分拆的个数．该文研究了部

2、分数为7的咒一分拆，得到了P，(住)的简易计算公式．关键词：分拆；部分；不定(丢番图)方程；计数公式中图分类号：0157．2文献标识码：A1引言正整数的分拆问题是由著名数学家欧拉⋯在研究数论问题的过程中提出来的．定义1【2’3】设，ll，，12，⋯，扎，。竹是r+1个正整数，且nI≥，12≥⋯≥，z，，如果咒=，lI+，z2+⋯+咒，(1．1)则称分解式(1．1)为竹的一个恰有，．个部分的(无序)分拆，或称分解式(1．1)为一个部分数为r的九一分拆．称行；(i=1，2，⋯，r)为该分拆的一个部分．以P，(佗)表示部分数为r的，z一分拆的个数．易知，P。(

3、竹)=P。(，1)=只一。(n)=1，P。一2(扎)=2，-，．^，且已知P2(行)=l号l，P3(咒)=I!l_≯l，其中[z]表示不超过z的最大整数Ⅲ．文献[4]研究了P。(尢)的计算公式，文献[5，6，7]研究了与Pr(”)有密切关系的A(，z，r)在r=4，5，6，7时的计算公式，文献[8]研究了一些特殊类的部分数为3，4的尢一分拆的计数，文献[9，10]研究了P，(n)，P。(九)的计算公式．在本文中，我们应用不同于文[5，6，7]的组合技巧和数论方法得到了P，(以)的计算公式，并与文[7]的结论进行了比较．事实上，本文给出的方法可对任意的r值

4、求P，(，t)的计算公式．2主要结论及其证明在本节里，我们将得到部分数为7的，z一分拆的计数公式．引理A【21以MI(壳=l，2，⋯，r)表示不定方程zl+z2+⋯+z，=7l中未知数孔的可取值所成之集，以盘。表示方程zl+z2+⋯+矗=，z满足条件≈∈舰(龙=1，2，⋯，，．)的解的个数，则口。是A(f)=TT∑以的展开式中￡”的系数．简柙kfO，当，．>竹时，牝表示厩集的棚A的个数坝峨=1捣，当0≤丙时【2】．收稿日期：2008一07—27基金项目：国家自然科学基金(10601038)；高等学校博士学科点专项科研基金(20070574006)作者简介

5、：邢林燕(1979一)，女，硕士生。主要研究方向为组合数学．万方数据·52。广西师范学院学报(自然科学版)第26卷引理1设规是正整数，则(1)以口表示不定方程z1+z2+z3+z4+z5+z6+z7=n的正整数解的个数，则口=C：一I=(咒6—21竹5+175竹4～735咒3+1624n2—1764九+720)／720．(2)以6表示不定方程2zl+z2+z3+z4+z5+z6=竹的正整数解的个数，则f(2n5—35”4+230咒3—700行2+968竹一465)／480，当以为奇数时。l(2以5—35，z4+230卯3—700咒2+968咒一480)／

6、480，当行为偶数时‘(3)以c表示不定方程221+222+z3+z．+z5=7z的正整数解的个数，则f(竹4—14，z3+68咒2—130九+75)／96，当，z为奇数时。【(n4—14九3+68咒2—136咒十96)／96，当n为偶数时。(4)以d表示不定方程2zI+222+223+z。=，z的正整数解的个数，则．f(，z3—9，z2+23旭一15)／48，当，z为奇数时”【(，13—12n2+44，z一48)／48，当咒为偶数时。(5)以已表示不定方程3zl+z2+z3+z。十zj=咒的正整数解的个数，则州咒‘叫以3坷行2吨6⋯脚肿r=医霎蓦墨引．

7、(6)以，表示不定方程3zI+222+z3+z．=，l的正整数解的个数，则厂=(2竹3—21九2+66以一s)／72，其中s=72，若7l兰0(mod6)47，若规三1(mod6)64，若n兰2(mod6)63，若扎三3(mod6)’56，若竹三4(m。d6)55，若，z三5(mod6)(7)以g表示不定方程3z。+222+223=行的正整数解的个数，则忙‰Ⅷ隗其中口=隈萋盖篡6’g卜4州№4肿卢={：萋￡蓦=：；’(8)以^表示不定方程3z。+322+z3=n的正整数解的个数，则f("2—9咒+18)／18，若，z兰0(mod3)^=≮(”2—5扎+4

8、)／18，若咒兰1(mod3)．【(刀2—7刀+10)／18，若，2三2(mod