第十七届北京高中数学知识应用竞赛决赛试题及解答

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1、４２数学通报　　　　　　　 　２０１４年　第５３卷　第５期第十七届北京高中数学知识应用竞赛决赛试题及解答竞赛时间：２０１４年３月３０日８：３０～１１：００一、我 们 知 道，Ａ４、Ｂ５ 复 印 纸 是 彼 此 相 似 的长方形，它们的长宽 比 是槡２∶１，我 们 称 这 样 的 长方形为槡２长方形．对于一张正方形的纸，仅使用折叠的方式就可以 将 它 折 成槡２长 方 形 的 形 状．步 骤如下：第一 步 　 折 叠 正 方 形 ＡＢＣＤ，使 其 对 角 线ＢＤ 为折痕；第二步 　 掀 起 ∠Ｃ，折 叠后将 ＢＣ 与ＢＤ 重合，折痕为ＢＨ，点 Ｃ 关于ＢＨ 的对称点

2、为Ｇ；第三步 　 折 叠 出 过 点 Ｇ第二步　过点 Ｂ 将点Ｃ 折到ＥＦ 上，折 痕 为ＢＧ，点 Ｃ 关于ＢＧ 的对称点为 Ｈ ；第三步　延长 ＢＨ 交ＡＤ 于点 Ｍ ，折叠出过点 Ｍ 的折痕 ＭＮ ，使 ＭＮ∥ＡＢ．则四边形 ＡＢＮＭ 为槡３长方形．证明：显见 △ＢＣＨ 是 正 三 角 形，ＨＦ 是 这 个三角形的高．故 ＨＦ ＝槡３ＢＦ．又△ＢＦＨ∽△ＢＮＭ，所以 ＭＮ＝槡３ＢＮ．二、用一个边长 为 ４０ 厘 米 的 正 方 形 包 装 纸，包住一个体积 最 大 的 正 四 棱 锥，求 这 个 正 四 棱 锥的底面边长和体积（精确到１．０）．解　由对称性 考

3、 虑，正 四 棱 锥 的 底 面 中 心 应的折痕ＥＦ，使 ＥＦ∥ＡＤ．图１该与正方形包 装 纸 的 中 心 重 合，能 包 出 最 大 体 积如图１所示．则长方形 ＢＣＦＥ 为槡２长方形．（１）请对上面得到的结论给出证明．（２）请在正方形纸上折叠出槡３长方形．并叙述折叠的步骤和证明．解　（１）过点 Ｇ 作ＢＣ 边的垂线，与 ＢＣ 相交于点 Ｍ （图２）．由 折 纸 的 第 三 步 可 知，折 痕 ＥＦ∥ＢＣ，从而 四 边 形 ＢＭＧＥ 构 成 一 个 正 方 形，且 有ＢＧ∶ＢＥ＝槡２∶１．由 折 纸 的 第 二 步 可 知 ＢＧ＝正四棱锥的可能情形只有两种

4、：（１）正四棱锥的底边和正方形的对角线平行，（２）正四棱锥的底边和正方形的底边平行．设正 四 棱 锥 的 底 面 边 长 为 ２ｘ，侧 面 的 斜 高为ｈ．ＢＣ．因此长方 形 ＢＣＦＥ 的 长 宽 比 为 ＢＣ∶ＢＥ ＝ＢＧ∶ＢＥ ＝ 槡２∶１．从而它是个槡２长方形．（２）折叠槡３长方形，如图３．情形１图（１）对情景１　　情形２图２ｘ 　 槡  －ｘ＝槡００－４０槡ｘ３ （   ）３（）３ 槡  （００－４０　槡ｘ  ）槡（１０　槡２ｘ ）（１０　槡２ｘ ）（１０　槡２ｘ ）（１０　槡２ｘ ）（８００－４０　槡２ｘ ）（（１０　槡２） ）　　图２图３第一步　 

5、将 正 方 形 ＡＢＣＤ 的 两 对 边 ＡＢ 与ＣＤ 重合对折，折痕为 ＥＦ；解法１　根据图示，可见２ｈ＋２ｘ＝４０　槡２，得　ｈ＝ ２０　槡２－ｘ，１ ２　 ２ ２ ４ｘ２Ｖ ＝ ｈ ８ ２４ ４＝ ｘ ８ ２ １４ １＝ ４３六个面上的数字方块１方块２六个面上的数字方块１　０　１　２　３　４　５方块２　０　１　２　６　７　８时刻ｔ　０　１２　２０　２４　３６　４０　４８　６０Ａ 到达√√√√Ｂ到达√√√√√√时段（０，１２）（１２，２０）（２０，２４）（２４，３６）（３６，４０）（４０，４８）时段长１２　８　４　１２　４　８　槡（  ）（）１４·５１２　槡１

6、０≤（０　槡）３≈２１５８．（ｍ ）．８ｃ２０１４年　第５３卷　第５期　　 　　　　　　数学通报５　４８００４ ＝３５１ ２３等号成立条件：４３４熿２ｘ８００－４０ ２ｘ  ＋ｘ（－４０　槡） 燄２２　槡００－４０　槡ｘ  燅燀Ｖ＝（ｘ   ）２　 槡ｈ ２－ｘ２＝槡４００－４０ｘ（）槡ｘ４００－４０ｘ３（）１０　槡２ｘ＝８００－４０　槡２ｘ，即ｘ＝８　槡２≈１１．３．解法２　对（１）式 中的 ｘ 求导数：令Ｖ′＝２槡　槡＝０３８２解得 ８００ｘ   －４０　槡２ｘ２＝１０　槡２ｘ２，即ｘ＝８　槡２，ｘ＝０（不合题意舍去）．（２）对情景２解法１　根据图示，可见 ２

7、ｈ＋２ｘ＝４０，ｈ＝２０－ｘ，用平均不等式求最大值：１４ｘ２２３３４４　＝２请你尝 试 确 定 表 示 日 期 的 两 个 方 块 上 的 数字，把你的方案填到下面的表格中，并说明理由．解　方案不唯一，只要符合下面两个原则：１．两个方块上都有数字０，１，２；２．９和６ 通 用 （即 其 余 数 字 是 ３，４，５，６，７，８或３，４，５，７，８，９）．这些数字一共填满两个方块的１２个面，与每个方块上６个数字的位置关系无关．例如：槡（１０ｘ ）（１０ｘ ）（１０ｘ ）（１０ｘ ）（４００－４０ｘ ）（（１０） ）＝４３１４槡（  ）（）４４００  ５　１４