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1、概率论与数理统计及其应用习题解答1.计算机中心有三台打字机A,B,C，程序交与各打字机打字的概率依次为0.6,0.3,0.1，打字机发生故障的概率依次为0.01,0.05,0.04。已知一程序因打字机发生故障而被破坏了，求该程序是在A,B,C上打字的概率分别为多少？解：设“程序因打字机发生故障而被破坏”记为事件，“程序在A,B,C三台打字机上打字”分别记为事件。则根据全概率公式有 ，根据Bayes公式，该程序是在A,B,C上打字的概率分别为，，。2.用一种检验法检测产品中是否含有某种杂质的效果如下。若真含有杂质检验结果为含有的概率为0.8；若真不含有杂质检验结果为不
2、含有的概率为0.9，据以往的资料知一产品真含有杂质或真不含有杂质的概率分别为0.4，0.6。今独立地对一产品进行了3次检验，结果是2次检验认为含有杂质，而一次检验认为不含有杂质，求此产品真含有杂质的概率。（注：本题较难，灵活应用全概率公式和Bayes公式）解：设“一产品真含有杂质”记为事件，“15概率论与数理统计及其应用习题解答对一产品进行3次检验，结果是2次检验认为含有杂质，而1次检验认为不含有杂质”记为事件。则要求的概率为，根据Bayes公式可得又设“产品被检出含有杂质”记为事件，根据题意有，而且，，所以；故，3，一教授当下课铃打响时，他还不结束讲解。他常结束他
3、的讲解在铃响后的一分钟以内，以X表示铃响至结束讲解的时间。设X的概率密度为，（1）确定；（2）求；（3）求；（4）求。解：（1）根据，得到；（2）；（3）；（4）。4.设产品的寿命X（以周计）服从瑞利分布，其概率密度为15概率论与数理统计及其应用习题解答（1）求寿命不到一周的概率；（2）求寿命超过一年的概率；（3）已知它的寿命超过20周，求寿命超过26周的条件概率。解：（1）；（2）；（3）。5.设随机变量X的概率密度为求分布函数，并求，。解：（1）；。6,设随机变量（X，Y）的联合概率密度为15概率论与数理统计及其应用习题解答试确定常数，并求，，。解：根据，可得，
4、所以。；。7，设是两个随机变量，它们的联合概率密度为，（1）求关于的边缘概率密度；（2）求条件概率密度，写出当时的条件概率密度；（3）求条件概率。解：（1）。（2）当时，。特别地，当时。15概率论与数理统计及其应用习题解答（3）。8，设是二维随机变量，的概率密度为且当时的条件概率密度为，（1）求联合概率密度；（2）求关于的边缘概率密度；（3）求在的条件下的条件概率密度。解：（1）；（2）；（3）当时，。9设随机变量具有分布律-2-10131/51/61/51/1511/30求的分布律,并求DY与DX。解：根据定义立刻得到分布律为15概率论与数理统计及其应用习题解答1
5、25101/57/301/511/3010（1）设随机变量的概率密度为求的概率密度。（2）设随机变量，求的概率密度。（3）设随机变量，求的概率密度。解：设的概率密度分别为，分布函数分别为。则（1）当时，，；当时，，。所以，。（2）此时。因为，故，，所以，。（3）当时，，15概率论与数理统计及其应用习题解答故，。所以，。11.设随机变量，随机变量Y具有概率密度，，设X,Y相互独立，求的概率密度。解：因为，所以的概率密度为。12.随机变量X和Y的概率密度分别为，，X,Y相互独立。求的概率密度。解：根据卷积公式，得，。所以的概率密度为。13，设随机变量X,Y都在(0,1)
6、上服从均匀分布，且X,Y相互独立，求的概率密度。解：因为X,Y都在(0,1)上服从均匀分布，所以15概率论与数理统计及其应用习题解答，根据卷积公式，得。14，设随机变量X和Y的联合分布律为（1）求的分布律。（2）求的分布律。（3）求的分布律。YX01201/121/61/2411/41/41/4021/81/20031/12000解：（1）的分布律为如，，其余类似。结果写成表格形式为012315概率论与数理统计及其应用习题解答1/122/329/1201/120（2）的分布律为如，，其余类似。结果写成表格形式为0127/4013/40（3）的分布律为如，，其余类似。
7、结果写成表格形式为01231/125/125/121/1215，设，求，，；解：，17，设，求，。解：因为，所以。15概率论与数理统计及其应用习题解答。16，设随机变量，已知，，求和；解：（1）由，得到；，得到；联立和，计算得到。17.据调查某一地区的居民有20%喜欢白颜色的电话机，（1）若在该地区安装1000部电话机，记需要安装白色电话机的部数为，求，，；（2）问至少需要安装多少部电话，才能使其中含有白色电话机的部数不少于50部的概率大于0.95。解：（1）根据题意，，且。由DeMoivre-Laplace定理，计算得；；。（2）设要安装部电话。则要使得15概
