秩亏网平差若干计算方法

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1、秩亏网平差若干计算方法1.概述在测量平差中，控制网中除了必要起算数据外还有多余起算数据的是附合网，仅有必要起算数据的是自由网，这两种控制网在间接平差时误差方程系数矩阵B都是满秩的，由此得到的法方程系数阵N=BTPB也是满秩的，即法方程有唯一解。这是经典平差的范畴。自由网中有一种具有特殊用途的控制网，就是秩亏自由网，这种自由网没有起始数据参与平差并且以待定点的坐标为待定参数。此时的误差方程的系数阵B是列亏阵，由此所得的法方程系数阵N=BTPB也是秩亏阵。一般设网中全部的待定坐标个数为u，必要观测数为t，全

2、部观测数为n，B为n×u阶矩阵，相应的法方程系数阵N是u×u阶矩阵，RB=RN=t

3、RB=t

4、BTPB

5、=0，即该方程组有解但不唯一，虽然满足最小二乘准则，但有无穷多组x~的解，无法求得唯一的x~，因为参数x~必须在一定的坐标基准下才能唯一确定。为了得到x~的唯一解，增加d个坐标基准约束条件，即：

6、STx~=0(4)在限制条件VTPV+2KT(STx~)=min下，得到法方程如下：BTPBx~+SK=BTPlSTx~=0（5）由此可以根据下面的方程组解得x~的唯一解：V=Bx~-lBTPBx~+SK=BTPlSTx~=0VTPV+2KT(STx~)=min（b）由上述方程组（b），可以得到：x~=（BTPB+SST）-1BTPlQ=（BTPB+SST）-1BTPB（BTPB+SST）-1(7)3.矩阵分解应用于秩亏网平差3.1奇异值分解用于秩亏网平差可以看出，上面提到的这种计算秩亏网平差的方式很复

7、杂，现在我们不妨把秩亏自由网平差看成在满足最小二乘VTPV=min和最小范数x~Tx~=min的条件下，求参数一组最佳估值的平差方法，也就是通过对如下的方程组来解求x~的唯一解：V=Bx~-lBTPBx~-BTPl=0VTPV=minx~Tx~=min(c)这是个复杂的方程组，如果按照正常求解的方法是很困难的，下面我们把矩阵的奇异值分解融合进来。矩阵的奇异值分解是线性代数中一种重要的矩阵分解，在最优化问题、特征值问题和广义逆问题及统计学问题中都有重要的应用。对秩为r的m×n阶矩阵A进行奇异值分解的步骤是

8、：1）求得AHA的特征值γ1，γ2,……γn,及对应的特征向量并正交单位化，得矩阵V，使得VHAHAV=M2000,M=diag(γ1，γ2,……γn)；2）将V的前r列作为V1，令U1=AV1M-1，再扩张成m阶的矩阵U；3）那么A=UM000VH。根据上述矩阵奇异分解的原理求得矩阵B的奇异值分解：B=UM000VH,在此基础上令矩阵G=VM-1000UH。通过矩阵理论的学习我们知道，可以通过如下的方式来验证G就是B的广义逆：（1）BGB=UM000VHVM-1000UHUM000VH=UM000VH

9、=B(2)GBG=VM-1000UHUM000VHVM-1000UH=VM-1000UH=G(3)(BG)H=(UM000VHVM-1000UH)H=BG(4)(GB)H=(VM-1000UHUM000VH)H=GB对于不相容方程组Bx=b,使得x=Gb为极小范数最小二乘的充要条件是G为B的广义逆，这就说明G是满足该方程式的极小范数最小二乘解，也就是说，我们得到未知参数的估值x~=Gl=VM-1000UHl。通过这种计算方法，我们求解方程组（c）就简单多了。3.2满秩分解用于秩亏网平差满秩分解，是指把秩

10、为r的m×n阶矩阵A分解成A=FG，其中F是秩为r的m×r阶矩阵，G是秩为r的r×n阶矩阵。满秩矩阵的解求利用Hermite行标准形来完成。把矩阵A经过处等行变换成为Hermite行标准形B，B的j1,j2……,jr列为单位矩阵Im的前r列，令A的第j1,j2……,jr列为矩阵F，B的前r行为矩阵G，则有A=FG。在这里，秩亏网平差的数学模型还是前面提到的方程组（c），根据广义逆理论，相容方程组Nx~-W=0虽有无穷多组解，但它有唯一的最小