秩亏自由网平差方法比较分析文档

《秩亏自由网平差方法比较分析文档》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。

1、§8-2秩亏自由网平差2学时 在前面介绍的经典平差中，都是以已知的起算数据为基础，将控制网固定在已知数据上。如水准网必须至少已知网中某一点的高程，平面网至少要已知一点的坐标、一条边的边长和一条边的方位角。当网中没有必要的起算数据时，我们称其为自由网，本节将介绍网中没有起算数据时的平差方法，即自由网平差。在经典间接平差中，网中具备必要的起算数据，误差方程为（8-2-1）式中系数阵为列满秩矩阵，其秩为。在最小二乘准则下得到的法方程为（8-2-2）由于其系数阵的秩为，所以为满秩矩阵，即为非奇异阵，具有凯利逆，因此具有唯一解，即（8-

2、2-3）当网中无起算数据时，网中所有点均为待定点，设未知参数的个数为u，误差方程为（8-2-4）式中为必要的起算数据个数。尽管增加了个参数，但的秩仍为必要观测个数，即其中为不满秩矩阵，称为秩亏阵，其秩亏数为。组成法方程（8-2-5）式中，且，所以也为秩亏阵，秩亏数为：（8-2-6）由上式知，不同类型控制网的秩亏数就是经典平差时必要的起算数据的个数。即有：在控制网秩亏的情况下，法方程有解但不唯一。也就是说仅满足最小二乘准则，仍无法求得的唯一解，这就是秩亏网平差与经典平差的根本区别。为求得唯一解，还必须增加新的约束条件，来达到求唯

3、一解的目的。秩亏自由网平差就是在满足最小二乘和最小范数的条件下，求参数一组最佳估值的平差方法。下面将推导自由网平差常用两种解法的有关计算公式。一、直接解法根据广义逆理论，相容方程组虽然具有无穷多组解，但它有唯一的最小范数解，即：（8-2-7）式中，称为矩阵的最小范数g逆。称为矩阵的g逆。代入（8-2-7）式得（8-2-8）上式就是根据广义逆理论直接求解参数的唯一最小范数解的公式。由于广义逆计算较为复杂，下面将公式做进一步改化：令（8-2-9）（8-2-10）式中行满秩，即，于是有（8-2-11）而，所以为满秩方阵，按照降阶法求

4、矩阵广义逆的方法，即：如果有矩阵其中存在凯利逆，则有的g逆（8-2-12）根据上式可得（8-2-13）代入（8-2-8）式，得（8-2-14）或写成（8-2-15）未知参数的协因数阵为：（8-2-16）二、附加条件法（伪观测值法）前面已提及，秩亏自由网平差就是在满足最小二乘和最小范数的条件下，求参数一组最佳估值的平差方法，实际上就是求相容方程组的最小范数解。附加条件法的基本思想：由于网中没有起算数据，平差时多选了d个未知参数，因此在u个参数之间必定满足d个附加条件式，即在原平差函数模型中需要加入d个未知参数间的限制条件方程，从

5、而可以按附有条件的间接平差法求解。问题的关键是如何导出等价于的限制条件方程的具体形式。为叙述方便，我们先给出该限制条件方程，然后再推导平差计算公式，最后证明，在给定的限制条件方程下所求得的解，就是相容方程组的最小范数解。设等价于约束条件的限制条件方程为（8-2-17）式中且满足称为附加阵。故秩亏自由网平差的函数模型为权阵为按照附有条件的间接平差可得法方程（8-2-18）式中，且，唯一不同的是这里为秩亏阵。为解决秩亏问题，将（8-2-18）中的第二式左乘矩阵后，再加到第一组中得：（8-2-19）式中，且根据附有条件的间接平差原理

6、，上式的解为（8-2-20）（8-2-21）由于上述解是通过增加未知参数间满足的d个附加条件，按照附有条件的间接平差法而实现的，因此人们把此法称为附加条件法。但它又不同于经典的附有条件的间接平差法，其主要表现为：当阵满足时，必定有下式成立（证明从略）（8-2-22）将（8-2-22）式代入（8-2-21）式，可得参数的解为（8-2-23）现在只需证明，按（8-2-23）式求得的解就是法方程的最小范数解。为此只需证明是的最小范数g逆中的一个即可，即只需证明满足以下两式：（8-2-24）现证明如下：因为，所以有右乘阵并展开，则有而

7、，所以有（8-2-25）由于，存在逆阵，则有（8-2-26）所以有（8-2-27）（8-2-28）因此（8-2-24）第一式得到验证。由（8-2-27）式得考虑到（8-2-26）式，则上式为（8-2-29）（8-2-28）、（8-2-29）两式说明是的最小范数g逆中的一个，因此按（8-2-23）式求得的一定是相容方程组的最小范数解。三、精度评定单位权中误差估值的计算（8-2-30）式中可以直接计算，也可以按下式求得（8-2-31）未知参数的协因数阵为（8-2-32）实际计算时，通常要对进行标准化，设标准化后的阵用表示，即不仅要

8、求满足，还要求满足，此时（8-2-26）式变成，转置后有，因此（8-2-32）式将变成如下形式（8-2-33）四、两点说明①若将代入法方程，则法方程变为上式相当于下列误差方程联合组成的法方程上式的第一式为观测值的误差方程，第二式可以看作是为求最小范数解而人为增设的d个虚拟误差