复数 总结 (2012修正版) 免费

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1、复数（2012修订版）一：基本概念1．复数的概念：（1）虚数单位i；（2）复数的代数形式z=a+bi，(a,b∈R)；（3）复数的实部、虚部、虚数与纯虚数。2．复数集复数a+bi(a,b∈R)由两部分组成，实数a与b分别称为复数a+bi的实部与虚部，1与i分别是实数单位和虚数单位，当b=0时，a+bi就是实数，当b≠0时，a+bi是虚数，其中a=0且b≠0时称为纯虚数。应特别注意，a=0仅是复数a+bi为纯虚数的必要条件，若a=b=0，则a+bi=0是实数。3．复数的四则运算若两个复数z1=a1+b1i，z2=a2+b2i，a)

2、复数的加法、减法、乘法运算与实数的运算基本上没有区别，最主要的是在运算中将i^2=－1结合到实际运算过程中去。（1）加法：z1+z2=(a1+a2)+(b1+b2)i；（2）减法：z1－z2=(a1－a2)+(b1－b2)i；（3）乘法：z1·z2=(a1a2－b1b2)+(a1b2+a2b1)i；b)复数的除法：复数的除法是复数乘法的逆运算，由于两个共轭复数的积是实数，因此复数的除法可以通过将分母实化得到，即.（4）四则运算的交换率、结合率；分配率都适合于复数的情况。（5）特殊复数的运算：①(n为整数)的周期性运算；②(1±i

3、)^2=±2i；③若ω=－+i，则ω^3=1，1+ω+ω^2=0.4.复数z=a+bi的模，

4、a

5、=,且=a^2+b^2.5.共轭复数　　定义：对于复数z=a+bi，称复数=a-bi为z的共轭复数。即两个实部相等，虚部（虚部不等于0）互为相反数的复数互为共轭复数(conjugatecomplexnumber）。复数z的共轭复数记作ˊ。表示方法为在字母z上方加一横线即共轭符号。根据定义，若z=a+bi(a，b∈R），则ˊ=a－bi（a,b∈R）。共轭复数所对应的点关于实轴对称.在复平面上。表示两个共轭复数的点关于X轴对称.而这一点

6、正是"共轭"一词的来源。两头牛平行地拉一部犁，它们的肩膀上要共架一个横梁，这横梁就叫做"轭".共轭复数有些有趣的性质：　　　(1)︱a+bi︱=︱a-bi︱(2)(a+bi)*(a-bi)=a^2+b^2(3)若z=a+bi，则，=2a为实数，=2bi为纯虚数(b≠0).二．学习方法与指导1．根据两个复数相等的定义，设a,b,c,d∈R，两个复数a+bi和c+di相等规定为a+bi=c+di.由这个定义得到a+bi=0.两个复数不能比较大小，只能由定义判断它们相等或不相等。两个复数相当的定义实际上给出了将复数问题转化为实数问题的

7、方法，是求复数值、在复数集中解方程得重要依据。2．复数a+bi的共轭复数是a－bi，若两复数是共轭复数，则它们所表示的点关于实轴对称。若b=0，则实数a与实数a共轭，表示点落在实轴上。复数a+bi的模的几何意义是指表示复数a+bi的点到原点的距离。3.下面介绍另外几种复数的表达形式。　　①几何形式。　　在直角坐标系中，以x为实轴，y为虚轴，O为原点形成的坐标系叫做复平面。　　这样所有复数都可以复平面上的点表示被唯一确定　　复数z=a+bi用复平面上的点z（a，b）表示。这种形式使复数的问题可以借助图形来研究。也可反过来用复数的理

8、论解决一些几何问题。　　②向量形式。复数z=a+bi用一个以原点O为起点，点Z（a，b）为终点的向量OZ表示。这种形式使复数的加、减法运算得到恰当的几何解释。　　③三角形式。复数z=a+bi化为三角形式　　z=r（cosθ+isinθ）　　式中r=√（a^2+b^2），是复数的模（即绝对值）　　θ是以x轴为始边，射线OZ为终边的角，叫做复数的辐角，辐角的主值记作argz　　这种形式便于作复数的乘、除、乘方、开方运算。　　④指数形式。将复数的三角形式z=r(cosθ+isinθ）中的cosθ+isinθ换为exp(iθ），复数就表

9、为指数形式z=rexp(iθ）（二）典型例题讲解1．复数的概念例1．实数m取什么数值时，复数z=m+1+(m－1)i是（1）实数？（2）虚数？（3）纯虚数？（4）对应的点Z在第三象限？解：复数z=m+1+(m－1)i中，因为m∈R，所以m+1，m－1都是实数，它们分别是z的实部和虚部，∴（1）m=1时，z是实数；（2）m≠1时，z是虚数；（3）当时，即m=－1时，z是纯虚数；（4）当时，即m<－1时，z对应的点Z在第三象限。例2．已知(2x－1)+i=y－(3－y)i，其中x,y∈R，求x,y.解：根据复数相等的意义，得方程组，

10、得x=,y=4.例3．已知x与y实部相等，虚部互为相反数，且(x+y)^2－3xyi=4－6i，求x,y.解：由题意设x=a+bi，y=a－bi(a,b∈R)，则代入原式得(2a)2－3(a2+b2)i=4－bi，或或或，∴或或或.例4．当m为何实数时，复数z＝