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《拉格朗日插值多项式和牛顿均差逼近》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、拉格朗日插值多项式和牛顿均差逼近一、拉格朗日插值多项式算法描述拉格朗日插值多项式是一种最常见的多项式插值法，也是一种最常用的逼近工具。设f(x)是定义在区间[a,b]上的函数，又设x1,x2,…,xn是[a,b]上的个互不相同的点,可以先构造基函数(0,1,2……,n)如下：（1）且满足（2）显然（3）满足（3）的插值多项式可表示为（4）由的定义，知（5）我们称为插值多项式。若引入记号，（6）容易求得（7）于是公式（4）可改写成（8）插值余项与误差估计若在[a,b]上连续，在（a,b）内存在，节点，是满足（3）的插值多项式，对任何，插值余项（9）余项表达式只有在f（x）高阶导数存在时才能应用
2、，在（a,b）内的具体位置一般不能给出，如果我们能求出，那么插值多项式逼近f（x）的截断误差限为（10）二、牛顿均差插值算法描述利用插值基函数很容易得到拉格朗日插值多项式，公式结构紧凑，在理论分析中甚为方便，但当插值节点增减时全部插值基函数(0,1,2……,n)均要随之变化，整个公式也将随之变化，给实际计算带来不便，而牛顿很好的解决了这个问题。在这里我们先引入差商的概念：设有函数f（x），为一系列互不相等的点，称（11）为f（x）关于点的一阶差商也称均差，类似于高等导数的定义，称一阶差商的差商（12）为f（x）关于的二阶差商，一般的，称（13）为f（x）关于点的k阶差商。具有如下基本性质：各
3、阶差商具有线性性，若，则对任意正整数k，都有（14）若f（x）是n次多项式，则一阶差商是n-1次多项式。若f（x）在[a，b]上存在n阶导数，且则n阶差商与导数之间存在如下关系。k阶差商可表示成{}的线性组合，即（15）其中牛顿插值公式：根据均差的定义，可得，（16）（17）……（18）只要把后一式带入前一式就得到（19）其中（20）（21）满足插值条件次数不超过n，我们称它为牛顿均差插值多项式。（21）式为余项和拉格朗日余项相同。三、本实验完成的任务1.根据已知的离散数据求未知离散点处的值这是书上的一个例题，已知，，，用线性插值及抛物插值计算的值并估计截断误差。根据上面公式（5），（20）
4、编程可得如下结果插值阶数插值形式拉格朗日插值牛顿均差插值线性插值0.330365200000000.33036520000000抛物线插值0.330374362037500.33037436203750实现程序如下：clc;clear;chooseinitial=input('选择默认值0，手动输入数据1：');if(chooseinitial)count=input('请输入x[i],y[i]的组数，不得超过20组:');fori=1:countx(i)=input('请输入第i组x的值:');y(i)=input('请输入第i组y的值:');endt=input('请输入t的值:');%
5、获得变量t的值elseformatlongx=[0.320.340.36];formatlongy=[0.3145670.3334870.352274];formatlongt=0.3367;endchoice=input('0:退出，1:Lagrange:，2:Newton:');%取得用户的选择项x0=[x(1)x(2)];y0=[y(1)y(2)];y00=0;y01=0;y10=0;y11=0;if(choice==2)y00=newton_interpolation(x0,y0,t);%线性插值%抛物线插值y01=newton_interpolation(x,y,t);endif(
6、choice==1)y00=lagrange0(t,x0,y0);%线性插值y01=lagrange0(t,x,y);%抛物线插值endif(choice==0)break;endout=[y00y01]牛顿均差插值函数：functionfp=newton_interpolation(x,y,p)count=length(x);%这儿默认为count－1次插值a(1)=y(1);fork=1:count-1d(k,1)=(y(k+1)-y(k))/(x(k+1)-x(k));endforj=2:count-1{fork=1:count-jd(k,j)=(d(k+1,j-1)-d(k,j-1)
7、)/(x(k+j)-x(k));endendforj=2:counta(j)=d(1,j-1);endDf(1)=1;c(1)=a(1);forj=2:countDf(j)=(p-x(j-1)).*Df(j-1);c(j)=a(j).*Df(j);endfp=sum(c);拉格朗日函数：function[y0]=lagrange(t,x,y)%计算n次拉格朗日插值多项式在t点处的值y0=0.0;count=l
