2009年全国高中数学联赛一试(试题参考答案及评分标准)

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1、2009年全国高中数学联合竞赛一试试题参考答案及评分标准说明:1.评阅试卷时,请依据本评分标准,填空题只设7分和0分两档;其他各题的评阅,请严格按照本评分标准的评分档次给分,不要增加其他中间档次.2.如果考生的解答方法和本解答不同,只要思路合理、步骤正确,在评卷时可参考本评分标准适当划分档次评分,解答题中至少4分为一个档次,不要增加其他中间档次.一、填空(共8小题,每小题7分,共56分)1.若函数且,则.【答案】【解析】,…….故.2.已知直线和圆,点在直线上,,为圆上两点,在中,,过圆心,则点横坐标范围为.

2、【答案】【解析】设,则圆心到直线的距离,由直线与圆相交,得.解得.3.在坐标平面上有两个区域和,为,是随变化的区域,它由不等式所确定,的取值范围是,则和的公共面积是函数.【答案】【解析】由题意知1.使不等式对一切正整数都成立的最小正整数的值为.【答案】【解析】设.显然单调递减,则由的最大值,可得.2.椭圆上任意两点,,若,则乘积的最小值为.【答案】【解析】设,.由,在椭圆上,有①②得.于是当时,达到最小值.3.若方程仅有一个实根,那么的取值范围是.【答案】或【解析】当且仅当①②③对③由求根公式得,④或.(ⅰ)

3、当时,由③得所以,同为负根.又由④知所以原方程有一个解.(ⅱ)当时,原方程有一个解.(ⅲ)当时,由③得所以,同为正根,且,不合题意,舍去.综上可得或为所求.1.一个由若干行数字组成的数表,从第二行起每一行中的数字均等于其肩上的两个数之和,最后一行仅有一个数,第一行是前个正整数按从小到大排成的行,则最后一行的数是(可以用指数表示)【答案】【解析】易知:(ⅰ)该数表共有100行;(ⅱ)每一行构成一个等差数列,且公差依次为,,,…,(ⅲ)为所求.设第行的第一个数为,则……故.2.某车站每天,都恰有一辆客车到站,但到

4、站的时刻是随机的,且两者到站的时间是相互独立的,其规律为到站时刻概率一旅客到车站,则它候车时间的数学期望为(精确到分).【答案】27【解析】旅客候车的分布列为候车时间(分)1030507090概率候车时间的数学期望为二、解答题1.(本小题满分14分)设直线(其中,为整数)与椭圆交于不同两点,,与双曲线交于不同两点,,问是否存在直线,使得向量,若存在,指出这样的直线有多少条?若不存在,请说明理由.【解析】由消去化简整理得设,,则①………………………………………………4分由消去化简整理得设,,则②……………………

5、…………………………8分因为,所以,此时.由得.所以或.由上式解得或.当时,由①和②得.因是整数,所以的值为,,,,,,.当,由①和②得.因是整数,所以,,.于是满足条件的直线共有9条.………14分2.(本小题15分)已知,是实数,方程有两个实根,,数列满足,,(Ⅰ)求数列的通项公式(用,表示);(Ⅱ)若,,求的前项和.【解析】方法一:(Ⅰ)由韦达定理知,又,所以,整理得令,则.所以是公比为的等比数列.数列的首项为:.所以,即.所以.①当时,,,变为.整理得,,.所以,数列成公差为的等差数列,其首项为.所以.

6、于是数列的通项公式为;……………………………………………………………………………5分②当时,,.整理得,.所以,数列成公比为的等比数列,其首项为.所以.于是数列的通项公式为.………………………………………………10分(Ⅱ)若,,则,此时.由第(Ⅰ)步的结果得,数列的通项公式为,所以,的前项和为以上两式相减,整理得所以.……………………………………………………………………………15分方法二:(Ⅰ)由韦达定理知,又,所以,.特征方程的两个根为,.①当时,通项由,得解得.故.……………………………………………………

7、5分②当时,通项.由,得解得,.故.…………………………………………………………10分(Ⅱ)同方法一.1.(本小题满分15分)求函数的最大和最小值.【解析】函数的定义域为.因为当时等号成立.故的最小值为.……………………………………………5分又由柯西不等式得所以.………………………………………………………………………………10分由柯西不等式等号成立的条件,得,解得.故当时等号成立.因此的最大值为.…………………………………………………………………………………15分

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