2009年全国高中数学联赛一试(试题参考答案及评分标准)

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1、2009年全国高中数学联合竞赛一试试题参考答案及评分标准说明：1．评阅试卷时，请依据本评分标准，填空题只设7分和0分两档；其他各题的评阅，请严格按照本评分标准的评分档次给分，不要增加其他中间档次．2．如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可参考本评分标准适当划分档次评分，解答题中至少4分为一个档次，不要增加其他中间档次．一、填空（共8小题，每小题7分，共56分）1．若函数且，则．【答案】【解析】，……．故．2．已知直线和圆，点在直线上，，为圆上两点，在中，，过圆心，则点横坐标范围为．

2、【答案】【解析】设，则圆心到直线的距离，由直线与圆相交，得．解得．3．在坐标平面上有两个区域和，为，是随变化的区域，它由不等式所确定，的取值范围是，则和的公共面积是函数．【答案】【解析】由题意知1．使不等式对一切正整数都成立的最小正整数的值为．【答案】【解析】设．显然单调递减，则由的最大值，可得．2．椭圆上任意两点，，若，则乘积的最小值为．【答案】【解析】设，．由，在椭圆上，有①②得．于是当时，达到最小值．3．若方程仅有一个实根，那么的取值范围是．【答案】或【解析】当且仅当①②③对③由求根公式得，④或．(ⅰ)

3、当时，由③得所以，同为负根．又由④知所以原方程有一个解．(ⅱ)当时，原方程有一个解．(ⅲ)当时，由③得所以，同为正根，且，不合题意，舍去．综上可得或为所求．1．一个由若干行数字组成的数表，从第二行起每一行中的数字均等于其肩上的两个数之和，最后一行仅有一个数，第一行是前个正整数按从小到大排成的行，则最后一行的数是（可以用指数表示）【答案】【解析】易知：(ⅰ)该数表共有100行；(ⅱ)每一行构成一个等差数列，且公差依次为，，，…，(ⅲ)为所求．设第行的第一个数为，则……故．2．某车站每天，都恰有一辆客车到站，但到

4、站的时刻是随机的，且两者到站的时间是相互独立的，其规律为到站时刻概率一旅客到车站，则它候车时间的数学期望为（精确到分）．【答案】27【解析】旅客候车的分布列为候车时间（分）1030507090概率候车时间的数学期望为二、解答题1．（本小题满分14分）设直线（其中，为整数）与椭圆交于不同两点，，与双曲线交于不同两点，，问是否存在直线，使得向量，若存在，指出这样的直线有多少条？若不存在，请说明理由．【解析】由消去化简整理得设，，则①………………………………………………4分由消去化简整理得设，，则②……………………

5、…………………………8分因为，所以，此时．由得．所以或．由上式解得或．当时，由①和②得．因是整数，所以的值为，，，，，，．当，由①和②得．因是整数，所以，，．于是满足条件的直线共有9条．………14分2．（本小题15分）已知，是实数，方程有两个实根，，数列满足，，(Ⅰ)求数列的通项公式（用，表示）；(Ⅱ)若，，求的前项和．【解析】方法一：(Ⅰ)由韦达定理知，又，所以，整理得令，则．所以是公比为的等比数列．数列的首项为：．所以，即．所以．①当时，，，变为．整理得，，．所以，数列成公差为的等差数列，其首项为．所以．

6、于是数列的通项公式为；……………………………………………………………………………5分②当时，，．整理得，．所以，数列成公比为的等比数列，其首项为．所以．于是数列的通项公式为．………………………………………………10分(Ⅱ)若，，则，此时．由第(Ⅰ)步的结果得，数列的通项公式为，所以，的前项和为以上两式相减，整理得所以．……………………………………………………………………………15分方法二：(Ⅰ)由韦达定理知，又，所以，．特征方程的两个根为，．①当时，通项由，得解得．故．……………………………………………………

7、5分②当时，通项．由，得解得，．故．…………………………………………………………10分(Ⅱ)同方法一．1．（本小题满分15分）求函数的最大和最小值．【解析】函数的定义域为.因为当时等号成立．故的最小值为．……………………………………………5分又由柯西不等式得所以．………………………………………………………………………………10分由柯西不等式等号成立的条件，得，解得．故当时等号成立．因此的最大值为．…………………………………………………………………………………15分