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1、广义分数次积分算子在齐次Morrey-Herz空间上的有界性杨明华（暨南大学数学系，广东广州510632）［摘要］主要研究与二阶散度型椭圆算子相伴的分数次积分算子,采用对函数进行环形分解的技术和对算子转化为相应的截断算子的方法,得出其从到是有界的.［关键词］齐次Morrey-Herz空间;椭圆算子;广义分数次积分算子;off–diagonal估计TheboundednessofgeneralizedfractionalintegraloperatorsonthehomogeneousMorrey-HerzspacesYANGMing-huaXUMing(Departme
2、ntofMathematics,JinanUniversity,Guangzhou510632,China)Abstract：Inthispaper,westudythegeneralizedfractionalintegraloperatorsassociatedtodivergenceformellipticoperator.Bythemethodsofstudyingringdecompositionoffunctionsandthiercorrespondingtruncatedoperators,theirboundednessoftheresultsfrom
3、spacetospacewereestablished.Keywords：homogeneousMorrey-Herzspaces;ellipticoperator;generalizedfractionalintegraloperators;off–diagonalestimates;1引言定义一个二阶散度型椭圆算子,是指一个定义在上的复的系数的矩阵，且满足一致性椭圆条件:存在,使得,,其中，.经典的分数次积分算子定义为:,其中利用算子的谱理论，算子的广义分数次积分定义为：［基金项目］国家自然科学基金资助项目(10771221)；暨南大学青年自然科学基金支持项目（51
4、208036）［作者简介］杨明华（1987-），男，江西抚州人，硕士研究生，主要从事调和分析研究通讯作者：许明，博士，副教授，研究方向：调和分析当即上的laplace算子时，以上广义分数次积分算子就是经典的分数次积分算子.设是解析半群的热核，若满足是实矩阵，或者是-10-的复矩阵，或者当核是Hölder连续的,那么具有Gaussian上界，即(1.1)众所周知，分数次积分算子是调和分析中以偏微分方程为背景的一种重要算子．在偏微分方程中为了研究Possion方程，Sobolev[1]引入经典的分数次算子又称Riesz位势算子并证明是型的．1950年，Zygmund证明是弱
5、有界，1995年FanDashan,LuShanzhen以及YangDachun[2-3]给出了奇异积分算子在Morrey空间上的有界性，2002年，YangDachun,ZhangPu,TangCanqin在文献[4]给出了型分数次积分算子的定义，并且证明这类算子在Hardy空间，弱Hard空间和Herz型Hardy空间的有界性，2004年在文献[5]中，X.T.Duong和YanLixin给出了广义分数次积分算子在一定条件下从到是有界的。2005年，LuShanzhen等[6-7]在研究奇异积分算子时引入一类与PDE相关的比Herz空间和Morrey空间更一般的齐次
6、Morrey-Herz空间,这类函数空间受到人们的重视,得到了许多算子在其上有界性的结果,受上述工作的启发,我们得到一个自然而然的问题是与二阶散度型椭圆算子相关的广义分数次积分算子是否在齐次Morrey-Herz空间上有界?本文回答了这个问题，得到了广义分数次积分算子在Morrey-Herz空间上有界性的结论.在叙述主要结果之前，先给出一些必要的记号，设，，,其中表示特征函数.注意：本文中的c表示常数在不同的地方可能表示不同的值.2预备知识和主要结果定义2.1[6]设,,,,定义齐次空间如下(2.1)其中，当，按照通常意义形式来定义.定义2.2[7]设,我们用表示局部可
7、积函数的空间，设-10-对所有和每个满足，其中，并且我们用表示满足上面条件的最小常数，当，，就是经典的Morrey空间.定义2.3[8]设,,,,定义齐次Herz空间如下：其中，当，按照通常意义形式来定义.显然我们可以得到以下关系,引理2.1[5]假设条件(1.1)成立,设，且，那么定理2.1设,假设条件(1.1)成立,若，，，，，则广义分数次积分算子从到是有界的.3主要定理的证明定理2.1的证明注意到若则有,因此我们只需证明情形,对任意，记（3.1）则(3.2)-10-对于，由引理2.1知从到上有界,因此容易得到(3.3)对于,当，，,
