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1、数学金融学第五章总结一、单时段市场交易策略投资价值的数学模型(一)不贴现的数学模型(二)贴现的数学模型二、理性市场的充要条件次级理性市场───市场成立单一价格定律(当,时,则───,其中为广义测度──有解──中级理性市场───无占优策略(比占优─)───,其中为线性定价测度─────有非负解──高级理性市场───市场是无套利的(市场有套利──)───,其中为风险中性概率测度─────有非负解──三、未定权益的问题1.未定权益可复制的、可定价的问题未定权益是可复制的──存在复制策略使得,,.第5页共5页称为该未定权益在时刻的一个价格.未定权益是可定价的──对任何复制策略,
2、均有.设市场无套利,则未定权益是可复制的不依赖于2.市场完备性问题市场是完备的──任何未定权益均是可复制──市场中rank────为单点集.四、风险与回报1.相对回报第种股票的相对回报──,对一般的交易策略的相对回报定义为──市场是无套利的──────2.风险溢价状态价格密度(相应于的)──,定理6.2设,使得未定权益可复制,其复制策略的相对回报为.为任一交易策略,其相对回报为,则.(6.11)证明:①,(6.12)②对给定的假定是的一个复制策略，则,(6.13)所以，,第5页共5页(6.14)③,(6.15)④特别取则有,(6.16)故,(6.16.1)综合(6.15
3、)和(6.16.1),我们可得到(6.11).▲2.风险溢价和Beta我们称为交易策略的风险溢价(riskpremium),称为交易策略关于的Beta,记作.因此,上面结果表明,交易策略的风险溢价恰好等于的风险溢价乘以关于的Beta,即.(6.17)命题6.3设,则可复制当且仅当L可复制.证明:我们注意到:可复制,即存在使得,(6.18)这等价于,(6.19)因此,由定义知,命题6.3成立.▲由命题6.3可见,在定理6.2中,我们不妨设a=0,b=1.当状态价格密度可复制时,可计算它的一个复制策略,记作,从而，,(6.20)则第5页共5页,(6.20.1)其中,它依赖于
4、股价,不依赖于策略.对,有,(6.21)因此，,(6.22)由于,可以离线地计算好,从而,我们可以很容易地通过,(6.23)计算出策略的风险溢价.现在,让我们举一个例子(注意前面的例5.8).例6.4假定;,求交易策略的风险溢价.解①求一个,使得相应的状态价格密度L(见(6.9))是可复制的.由前面的例3.11,我们知道该市场的风险中性概率测度全体为,(6.24)再由例5.8,状态为的未定权益可复制当且仅当,(6.25)任取的,此处,由(6.9)我们有:第5页共5页.(6.26)为了使得L可复制,由(6.25),我们必须选择,使得,(6.27)因此,我们只需取,得一个风
5、险中性概率测度,它所对应的状态价格密度是可复制的.②的一个复制策略.利用例5.8,我们知道的一个复制策略为:,,(6.28)③交易策略的风险溢价1).(6.29)2),(6.30)从而,.(6.31)3).4)交易策略的风险溢价为第5页共5页
