第一章 复变函数习题及解答

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1、第一章复变函数习题及解答1.1写出下列复数的实部、虚部；模和辐角以及辐角的主值；并分别写成代数形式，三角形式和指数形式．(其中为实常数)（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）答案（1）实部－1；虚部；模为2；辐角为；主辐角为；原题即为代数形式；三角形式为；指数形式为．（2）略为（3）略为（4）略为（5）略为：（6）该复数取两个值略为1.2计算下列复数1）；2）；答案1）；2）；1.3计算下列复数（1）；（2）；答案（1）（2）1.4已知为实数，求复数的实部和虚部．【解】令，即为实数域(Real).平方得到，根据复数相等，所以即

2、实部为虚部为说明已考虑根式函数是两个值，即为值．1.5如果试证明对于任何复常数有【证明】因为，所以1.6如果复数是实系数方程的根，则一定也是该方程的根．证因为，，…，均为实数，故，，…　，．且，故由共轭复数性质有：．则由已知．两端取共轭得即．故也是之根．注此题仅通过共轭的运算的简单性质及实数的共轭为其本身即得证．此结论说明实系数多项式的复零点是成对出现的．这一点在代数学中早已被大家认识．特别地，奇次实系数多项式至少有一个实零点．1.7证明：,并说明其几何意义．1.8若，试求的值.【解】因为所以即为所以1.9将下列复数表为的幂的形式（1

3、）；（2）答案1.10证明：如果是1的n次方根中的一个复数根，但是即不是主根，则必有1.11对于复数，证明复数形式的柯西(Cauchy)不等式：成立。【证明】对任意n个复数，由三角不等式知再由关于实数的柯西不等式得,证毕。1.12证明成立．1.13下列不等式在复数平面上表示怎样的点集？1）；2）；3）；4）；5）（答1）平面上由与所构成的宽度为1的铅直带形域；2）以为心，内半径为2，外半径为3的圆环域；3）顶点在原点，开度为的角形区域；4）宽度为的说平带形域，边界为，；5）以为心，为半径的圆之外部区域）1.14指出下列关系表示的点之轨

4、迹或范围；并说明是何种点集？1）2）解1）令，由知且即这样的点为平面上从点出发（但不含点）与实轴倾角为的射线．此射线所形成的点集既非开集，也非闭集．2）设，则原条件即为即由模的定义得化简得这是一椭圆，长半轴为，短半轴为，中心在原点，它是有界闭集（全部为边界点）．1.15描述下列不等式所确定的点集，并指出是区域还是闭区域，有界还是无界，单连通还是多（或复）连通.（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）解（1）是以i为圆心、在以2为半径的圆外，3为半径的圆内的圆环，是有界闭区域、多连通．（图形略）（2）即是下半平面，无界单连通闭区

5、域．（3）到3的距离比到2的距离大，因此，它是左半平面，去掉一点，是无界的多连通的区域.（4）在直线的上方，其中．无界单连通区域（5）即或是无界多连通区域（6）此不等是焦点在和初，长半轴为5/2的椭圆内部，为有界单连通闭区域）．（7）这是半支双曲线：，部分是无界单连通区域．（8）不等式即，或，只有当，成立，因此，只代表复平面上一个点．1.16已知映射，求(1)圆周的象；（2）直线的象；（3）区域的象．答案(1)，为圆周（2）直线（3）先看直线x=1的象，而z＝0的象在圆的外部，因此的象是圆的内部即为1.17讨论下列函数在指定点的极限存

6、在性，若存在求出其值，并判断在该点的连续性．1），2)，解1），则，，，又注意即在点处极限存在且连续．2）设，则显然，在点极限存在且连续．但注意不存在，事实上，令，有，对不同值有不同结果，故知不存在．所以，不存在．由连续与极限的关系知在处极限不存在、不连续．注这两个问题均通过极限存在的充要条件将问题转化为两个二元实函数在对应点处极限存在性的判断问题，这是最常用的方法．在问题1）中，又根据连徐的另一等价定义，立即得到在处不仅极限存在，而且在该点连续的结论；在2）中，实际上是一复变量实值函数，即，所以由充要条件只需判断一个二元实函数在点的

7、极限存在性．由该二元实函数在点极限不存在即得在处极限的不存在性．1.18若函数在点点连续，证明（1）在该点连续；（2）的模在该点连续．本章计算机编程实践与思考(说明：读者可参考第五部分计算机仿真编程实践)1.19使用Matlab,或Mathcad,或Mathmatic计算机仿真求解下列复数的实部、虚部;共轭复数；模与辐角；1.20计算机仿真计算：1.21计算机仿真求解方程1.22计算机仿真编程实践：若对应为的根，其中且取整数.试用计算机仿真编程验证下列数学恒等式成立.1.23用计算机编程实践方法（Matlab,Mathcad,Math

8、matic,C/C++）实现：（1）绘出单位圆及其内接正十七边形；（2）计算机编程求出边长；（3）能否对多变形进行推广，得出相应的计算机仿真计算方法.1.24计算机仿真编程验证对复平面任意两个以上的不重合的有限远点，（即