奥赛专项探究—数列

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1、世纪金榜圆您梦想www.jb1000.com奥赛专项探究—数列最近闲来无事….搞了点研究，关于数列的……….首先看一个最基本的：这个一看就知道了，但是换一个呢？麻烦了吧，不会弄了吧？没关系，我们慢慢推导就知道了这个和第一个数列很类似，但又有不同，第一个是阶乘，这个类似阶乘，而阶乘又是由Gamma函数定义的，所以可以考虑从这里着手。显然因此有在这个推导过程中，我们发现，刚好消掉了，可是如果改变一下其中的值，使它不为0，而等于一个数k呢？不就有，和递推式类似了么？现在对比递推式，可以知道k=1，然后反过来求对

2、应的函数。为了方便求，我们可以搞出一个带有参数的新函数来，它和Gamma函数类似，不妨就设这样就有比对发现可以得到但是这里又冒出一个新问题：，这个和是不符的，不过没关系，有办法解决第9页（共9页）数学投稿咨询QQ：1114962912山东世纪金榜书业有限公司世纪金榜圆您梦想www.jb1000.com而对于刚才求出的函数，也有类似性质所以有显然，上面的方法对于数列都是有效的，还是设这里对比发现然后转换首项第9页（共9页）数学投稿咨询QQ：1114962912山东世纪金榜书业有限公司世纪金榜圆您梦想www.

3、jb1000.com这还只是相对简单的一种形式，如果我们把递推式变得更复杂，变成恐怕这招就不太管用了，的确，对于一部分给定的来说，通过变换是可以解的，但是如果这个函数性质不太好，那我也无能为力，可能是我的研究还不到位，也可能根本就不可能解决这个问题，下面就讨论几种具体的1、型（其中为一个m次多项式）这个有点像解常系数非齐次线性微分方程那个型的方法为了解决它，我们可以试试把这个问题转换成一个我们已经解决了的问题设，其中是另一个m-1次多项式，q是常数如果，那么设就有展开所有的式子，合并以后得到方程组，可以解

4、出，然后就变成了上面那个问题了，不过我知道，展开求和，再解一个多元方程组，要用二项式定理、行列式…..都是麻烦的东西….不过没办法，谁叫那个多项式那么麻烦呢，不过嘛，对于比较简单的多项式，还是很容易求的例：设第9页（共9页）数学投稿咨询QQ：1114962912山东世纪金榜书业有限公司世纪金榜圆您梦想www.jb1000.com解得设就有由上面的结论得到2、型这个貌似用上面的办法去配项比较麻烦，而观察到Gamma函数递推式里那个多出来的东西，发现里面就有一个指数式，那么不妨就这样试试看设对照递推式得到然后

5、得同样进行首项转换第9页（共9页）数学投稿咨询QQ：1114962912山东世纪金榜书业有限公司世纪金榜圆您梦想www.jb1000.com所以看来，这个比后面是多项式的情况还好处理不过这个只是最简单的形式，如果变一变形，再加上点东西，问题就又变严重了比如这样：，多了一项……甚至还可以再在后面加更多的项（当然，都是型的）前面的过程中，我们好像都只是用了一个Gamma函数，这里后面有两项，不妨用两个Gamma函数加起来试试设（注意这里不是数列的前两项….只是一时找不到好的字母代替才这么弄的……）这样就有对照

6、得到然后进行首项转换就完事（我懒得打了……）后面有很多项也一样，有n项就弄出n个Gamma函数求和例：由上面的推导得到第9页（共9页）数学投稿咨询QQ：1114962912山东世纪金榜书业有限公司世纪金榜圆您梦想www.jb1000.com在这个过程中我们发现，不但后面可以加很多个型的东西，还可以加入型的就是这时就把它拆成两个数列和这样的话有分别求通项再加起来就是顺带提一下，如果后面是正弦、余弦型的函数，可以通过欧拉公式换成指数型，不过带有虚数就是了比如：这个以我目前的知识还不能化简，只能先这么表示着……

7、.等我学完复变函数再来试试看吧………3、型这个就把上面两种情况结合起来了，显然只会更麻烦…..不过方法都类似，应该也不是很难理解这个和1里面那种情况类似，不过后面多了个指数式，我们仍然可以试试1里面那种配项的方法设那么有同样列出方程组，解出，第9页（共9页）数学投稿咨询QQ：1114962912山东世纪金榜书业有限公司世纪金榜圆您梦想www.jb1000.com然后令就有这就把它化成了2里面的数列了，剩下我想我就不用讲了吧……还有个别特殊的其他式子是可以解的，也是靠配项的办法比如：然后就简单了目前我能解决

8、的只有这些了……其他函数都比较变态……不太好化简，比如对数、反三角、甚至连一些幂函数比如这类都没法解决……还有一个…..偶然间得到的东西求数列这个的做法比较古怪，要这么搞那么就有然后首项转换第9页（共9页）数学投稿咨询QQ：1114962912山东世纪金榜书业有限公司世纪金榜圆您梦想www.jb1000.com另外还顺道发现了这些：补充：（1）其实，就是双伽马函数，只不过这里（2）关于，这个似乎并不是显而易见的，下面给出证明另