数列(08奥赛培训)[1]2 (2).doc

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1、2008年江苏省高中数学奥林匹克夏令营数　列南菁高级中学　夏建新一、等差等比数列问题：1、数列的概念：⑴定义⑵通项公式⑶递推公式任何数列中an用Sn表示：an=2、等差数列与等比数列等差数列（A.P.）等比数列(G.P.)定义an－an－1=d＝q(q≠0)递推公式an=an－1+d　　an+1=2an－an－1an=an－1×q　an+1=通项公式an=a1+(n－1)dan=an－1×qn－1中项A=(a+b)G=±前n项和SnSn=n(a1+an)=na1+n(n－1)dSn=(q≠1)Sn=na1(q=1)am与an的关系am=an+(m－n)dam=an×qm－

2、n若m+n=p+q(m，n，p，q∈N*)am+an=ap=+aqam×an=ap×aq1、（07年全国竞赛）已知等差数列{an}的公差d不为0，等比数列{bn}的公比q是小于1的正有理数。若a1＝d，b1＝d2，且是正整数，求q的值。解：因为＝＝，故由已知条件知道：1＋q＋q2为，其中m为正整数。令1＋q＋q2＝，则q＝－＋＝－＋。由于q是小于1的正有理数，所以1＜＜3，即5≤m≤13且是某个有理数的平方，由此可知q＝。102008年江苏省高中数学奥林匹克夏令营3、（06年湖南竞赛）设{an}是正数数列，其前n项和Sn满足Sn＝(an－1)(an＋3)　　（1）求数列{

3、an}的通项公式；　　（2）令bn＝，试求{bn}的前n项和Tn解（1）由a1＝S1＝(a1－1)(a1＋3)及an＞0得，a1＝3　　　　由Sn＝(an－1)(an＋3)得Sn－1＝(an－1－1)(an－1＋3)　　　　　故an＝[(an2－an－12)＋2(an－an－1)]　即2(an＋an－1)＝(an＋an－1)(an－an－1)∵　an＋an－1＞0　　∴　an－an－1＝2　　　{an}是以3为首项，2为公差的等差数列，故an＝2n＋1　　　　　　（2）an＝2n＋1　　∴Sn＝n(n＋2)　bn＝＝(－)　　　　　　　Tn＝b1＋b2＋…＋bn＝[(1－

4、)＋(－)＋…＋(－)]　　　　　　＝(1＋――)　4、（08年四川高考）设数列{an}的前n项和为Sn，已知ban－2n＝(b－1)Sn（Ⅰ）证明：当b＝2时，{an－n·2n－1}是等比数列；（Ⅱ）求{an}的通项公式【解】：由题意知a1＝2，且ban－2n＝(b－1)Sn，ban＋1－2n＋1＝(b－1)Sn＋1两式相减得b(an＋1－an)－2n＝(b－1)an＋1　即an＋1＝ban＋2n①（Ⅰ）当b＝2时，由①知an＋1＝2an＋2n于是an＋1－(n＋1)·2n＝2an＋2n－(n＋1)·2n＝2(an－n·2n－1)又a1－1·2n－1＝1≠0，所以{an

5、－n·2n－1}是首项为1，公比为2的等比数列。（Ⅱ）当b＝2时，由（Ⅰ）知an－n·2n－1＝2n－1，即an＝(n＋1)·2n－1当b≠2时，由①得an＋1－·2n＋1＝ban＋2n－·2n＋1＝ban－·2n＝b(an－·2n)。因此an＋1－·2n＋1＝bn(a1－·2)＝bn得an＝[2n＋(2－2b)bn－1]102008年江苏省高中数学奥林匹克夏令营5、（07年湖北预赛）若数列{an}满足：a1＝，an＋1－an＝，求a2007.解由an＋1－an＝两边平方得3(an＋1－an)2＝2(an＋1＋an)，又3(an－an－1)2＝2(an＋an－1)，两式相

6、减，得3(an＋1－an－1)(an＋1－2an＋an－1)＝2(an＋1－an－1)由a1＝，求得a2＝2，又由递推关系式易知数列{an}是单调递增数列，所以an＋1－an－1≠0，故3(an＋1－2an＋an－1)＝2，即(an＋1－an)－(an－an－1)＝，所以数列{an＋1－an}是以a2―a1＝为首项，为公差的等差数列，所以an＋1－an＝(n＋1)，于是an＝a1＋(2＋3＋…＋n)＝n(n＋1)，所以a2007＝1343352.6、（07年第二届南方杯）已知数列{an}中，a1＝2，前n项之和为Sn。若(n2＋1)an＋1＝(2n＋1)Sn＋n4＋2n3

7、＋3n2＋2n＋2，试求Sn及an的表达式。解：因为an＋1＝Sn＋1－Sn，所以有(n2＋1)(Sn＋1－Sn)＝(2n＋1)Sn＋n4＋2n3＋3n2＋2n＋2，即(n2＋1)Sn＋1－(n2＋2n＋2)Sn＝n4＋2n3＋3n2＋2n＋2，∴(n2＋1)Sn＋1－[(n＋1)2＋1]Sn＝(n2＋1)[(n＋1)2＋1]，所以－＝1，即{}是一个公差为1的等差数列。由S1＝a1＝2及等差数列的通项公式得：＝＋(n－1)＝n，所以Sn＝n(n2＋1)(n＝1,2,3,…)当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝n(n2＋1)－(