能分拆成连续整数和的整数的特性

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1、万方数据2007年第11期中学数学月刊-31·能分拆成连续整数和的整数的特性周士藩(苏州大学数学科学学院215006)先从一个实例谈起：一个大剧院共30排，第一排有29个座位，从第二排起，每排比前一排多1个座位，那么该剧院内共有多少个座位?这个问题，就是化归为30个连续整数29．30．⋯，58的和l305．现在把问题倒过来考虑，已知一个整数(比如l305)能分拆成若干个连续整数的和，共有几种不同拆法?为此，先介绍三个性质．性质12n～1个连续整数的和必是2n一1的倍数，并且这个倍数正是它们的平均数，也是其中最小的数与最大的数的平均数

2、．也是这2n一1个数从小剑大排列中的第n个数(”∈N+)．证明设2n一1个连续整数是d+1，日+2．⋯，d+n，n+n+1，⋯，d+2”1．(1)于是它们的和是(Ⅱ+1)+(d+2)+⋯+“+(2”一1)一(2”一1)(“+”)．可见和是2”一l的倍数，这个倍数是d+”，正是(1)式中第”个数，也是“+1与a+2n1的平均数．-

3、生质22n个连续整数的和是n的奇数倍数，并且这个奇数倍数正是它们平均数的2倍，也是它们中的最小的数与最大的数的和，也是这2n个数从小到大排列中间的第”一1，与第n个数的和．证明设2n个连续整数是口+1，d+

4、2，⋯，d+n，n+“+1，⋯，口+2m．(2)于是它们的和是(n+1)+∞+2)+⋯+(n+2n)一2“n+n(2n+1)一n(2口+2n+1)．可见和是n的奇数倍数，这个奇数倍数是2n+2n+1．它等于这2一个数的平均数垫j≤攀的2倍，也是(2)式中最小的数L与最大的数的和，又是(2)式中最中间的相邻两个数n+”与n+”+l的和．说明从性质1，2中可知，若干个连续整数的和必是奇数的倍数．现在我“J利用性质1，2以及其中(1)、(2)，两式来探索“任意一个整数分拆成若干个连续整数之和”的问题．现在先看一个例子：例1将整数(2n一1

5、)￡分拆成若干个连续整数的和，共有几种拆法?(”∈N+，}是非零整数)．分析与解从性质1知，奇数个连续整数的和必是这奇数的倍数；由性质2知，偶数个(设为2n)连续整数的和必是m的奇数倍数，也就是说，要分拆一个整数。必须从正奇数人手．对照性质1，因整数(2n—1)}是2”一1的倍数，即有2n一1个￡，于是可以分拆成下列2n一1个连续整数的和：zn+1，⋯，￡l，￡，f+1，⋯，￡+nl(3)——■X一：———————————百朽一——对照性质2，因整数2”1是正奇数“当￡是正数时，可以分拆成下列2f个连续整数的和(其中每个2“1分拆成

6、2个整数之和：n1与n，"2与n+1，⋯，nt与”+f一1)．x当n一1时，H是十整数￡，为了叙述方便，一个}分拆为个￡，也算种分拆万方数据·32·中学数学月刊2007年第1l期n—f，⋯，n—l，n，⋯．”+f—l(4)、莉￡■———————1干并i——————一当￡是负数时，可以拆成2￡1个连续整数的和(其中每个2n+1分拆成2个整数之和：一n与月+1，一n1与一月+2，⋯，一m+fl与一月～f+2)：叫+}l，⋯，一”，一n+l，⋯，一n一￡+2—1幂葛鬲一——————————1不罩再■————————一(47)说明从例l中可

7、知，一个整数有一个正奇约数，必有上述两种不同的分拆法．定理l设整数S恰有m个不同的正奇约数，那么s分拆成若干个连续整数的和，共有2m种拆法．证若2”一l是5的一个正奇约数，利用2n—l，由例l知可以将s分拆成两种连续整数的和；反之，利用(3)式以及性质1可得唯一的整数S．又利用(4)式或(4’)式，以及性质2，也可得唯一的整数s．这就是说，一个正奇约数，正好可将s分拆成两种连续整数的和．从(1)式与(2)式的结构看，针对不同的正奇约数的各种分拆是互不相同的，而s恰有m个不同的正奇约数，所以共有2m种不同拆法．例235分拆成若干个连续

8、整数的和，共有8种拆法．解因35—1×35—5×7，故35有4个正奇约数．于是据定理1可知，35共有(4×2一)8种拆法．具体拆法是：(1)35t(2)34，⋯，一2，一l’0，l，2，3，⋯，35丙——■叮—一————1析——一i———。—————谇丁——————一即分拆成(35×2一)70个连续整数之和；(3)5，6，7，8，9；(4)一4，⋯，l，2，3，4，5，⋯，9，即分拆成(7×2一)14个连续整数之和；(5)2，3，4，5，6，7，8；(6)一1，o，1，2，3，4，5，⋯，8，即分拆成(5×2一)10个连续整数之和．

9、(7)一l6，⋯，一1，0，l，2，3，⋯，16，17，18，即分拆成35个连续整数之和；(8)17，18．注意到，上述分拆中，一个正奇约数的确有两种分拆法，但是这两种分拆中必有一种分拆有非正整数出现．现在针对非零自然数s的分拆，仅在