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1、TheoriederAbel'schenFunctionen.BernhardRiemann[Journalfurdiereineundangewandte¨Mathematik,Bd.54.S.101{155.1857.]TranscribedbyD.R.WilkinsPreliminaryVersion:December1998Corrected:April2000TheoriederAbel'schenFunctionen.BernhardRiemann[JournalfurdiereineundangewandteMathematik,Bd.54.¨S.101{155
2、.1857.]1.AllgemeineVoraussetzungenundHulfsmittelf¨ur¨dieUntersuchungvonFunctionenunbeschr¨anktver¨anderlicherGr¨ossen.DieAbsichtdenLeserndiesesJournalsUntersuchungenuberverschiede-¨neTranscendenten,inbesondereauchuber¨Abel'scheFunctionenvorzulegen,machtesmirwunschenswerth,umWiederholungenzu
3、vermeiden,eineZu-¨sammenstellungderallgemeinenVoraussetzungen,vondenenichbeiihrerBehandlungausgehenwerde,ineinembesonderenAufsatzevoraufzuschicken.Furdieunabh¨¨angigver¨anderlicheGr¨ossesetzeichstetsdiejetztallgemeinbekannteGauss'schegeometrischeRepr¨asentationvoraus,nachwelchereinecomplexe
4、Gr¨ossez=x+yivertretenwirddurcheinenPunkteinerunend-lichenEbene,dessenrechtwinkligeCoordinatenx,ysind;ichwerdedabeidiecomplexenGr¨ossenunddiesierepr¨asentirendenPunktedurchdieselbenBuchstabenbezeichnen.AlsFunctionvonx+yibetrachteichjedeGr¨ossew,diesichmitihrderGleichung@w@wi=@x@ygem¨ass¨and
5、ert,ohneeinenAusdruckvonwdurchxundyvorauszusetzen.AusdieserDi erentialgleichungfolgtnacheinembekanntenSatze,dassdieGr¨ossewdurcheinenachganzenPotenzenvonz−afortschreitendeReihenP=1vonderForma(z−a)ndarstellbarist,sobaldsieinderUmgebungnn=0vonaallenthalbeneinenbestimmtenmitzstetigsich¨andernd
6、enWerthhat,unddassdieseDarstellbarkeitstatt ndetbiszueinemAbstandevonaoderModulvonz−a,furwelcheneineUnstetigkeiteintritt.Esergiebtsichaber¨ausdenBetrachtungen,welchederMethodederunbestimmtenCoecientenzuGrundeliegen,dassdieCoecientenanv¨olligbestimmtsind,wennwin1einerendlichenubrigensbelie
7、bigkleinenvon¨aausgehendenLiniegegebenist.BeideUeberlegungenverbindend,wirdmansichleichtvonderRichtigkeitdesSatzesuberzeugen:¨EineFunctionvonx+yi,dieineinemTheileder(x;y)-Ebenegegebenist,kanndaruberhinausnuraufEineWeisestetigfortgesetztwerden.¨Mandenkesi
