建模过程与几何相似性建模

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1、第四讲建模过程与几何相似性建模1、数学模型1.1数学建模的一般过程为了解数学建模的过程，考虑图1所示的两个世界。假设我们要了解现实世界中的某些行为和现象，以便对该行为的未来作出预测并分析各种情境对该行为的影响。现实世界数学世界系统观察到的行为或现象模型数学运算及法则数学结论图1现实世界与数学世界例如，当研究两个相互作用的物种的种群量时，我们需要知道在它们的环境中物种能否共存，或者是一个物种最终占支配地位而迫使另一个物种灭绝；在用药管理中，要知道正确的剂量以及保持在血液中药物的安全与有效水平的剂量之间的时间。怎样构建数学世界中的数学模型并利用数学模型帮助我们更好地了解现实世界

2、中的系统呢？在讨论怎样把两个世界联系起来之前，先考虑什么是现实世界中的系统以及我们为什么对构建系统的数学模型感兴趣。一个系统就是由一些有规律的相互作用或内在的依赖关系联结在一起的对象的集合体。建模者希望了解一个特定的系统是怎样工作的，是什么造成了系统的变化以及系统对某些变化有多敏感。建模者还希望预测系统会发生什么样的变化以及何时发生变化。怎样获取这些信息呢？例如，假定目标是要从现实世界所观察到的现象中得出结论。一种方法就是对某些实际行为做试验或实验，然后观察它们对实际行为的影响。如图2所示。尽管这种过程可能实际行为模型模型实际问题的数据观察简化简化试验分析验证分析数学的结论

3、现实世界的结论实际的预测或解释数学的结论解释解释阐明图2获取有关系统的行为结论图3作为封闭系统的建模过程13降低由不那么直接的方法所引起的保真性的丧式，但是某些情况下我们不希望遵循这种过程。例如，在诸如决定药物的致命溶度水平或者研究核电厂故障对附近人口密集地区的辐射影响时，即使是单个试验的成本也可能高得令人不敢问津。或者，研究有人操纵的宇宙飞船的热屏蔽不同设计的时，我们甚至可能不愿意接受单次试验的失败。此外，在研究电离层组成的特殊的变化及其对极地冰帽相应的影响时，甚至不可能做实验。对图2的考察提示获取有关现实世界的结论的另一种方法。对所研究的行为做特定的观察并识别看来是有关

4、联的因素。通常不可能考虑，或者甚至是识别行为所有有关联的因素，所以做出消去某些因素的假设。例如，当研究来自核电厂故障造成的辐射影响时，至少开始时可以选择忽略湿度。其次，猜测所选择的因素之间的一些暂时的关系，从而创建一个有关该行为的粗略的模型。有了所建立的模型，应用适当的数学分析来导出有关该模型的结论。注意这些结论只属于该模型，而不属于所研究的真正的实际系统。考虑到在构建模型时做了某些简化以及基于该模型的观察误差和局限总是会有的，因此，在做出有关实际行为的任何推断之前，必须仔细考虑这些异常。综上所述，就得到如下粗略的建模步骤：（1）通过观察，识别有关实际行为的主要因素，可能要

5、做些简化；（2）猜测因素之间的暂时的关系；（3）将数学分析用于所得到的模型；（4）借助实际问题来解释数学结论。1.2数学模型的概念与性质数学模型是为了研究特定的实际系统或现象而设计的数学结构，包括图示、符号模拟和实验结构等。数学模型可以进以步加以区分。有些现有的数学模型与某个特定的实际现象是一致的，从而可以用来研究该现象。有些数学模型是专门来构建并研究一种特定的现象的。图4说明了模型之间的这种区分。从某个实际现象出发，可以通过构建一个新的模型或选择一个现有的模型数学地表示该现象。另一方面，可以通过实验或模拟来重复该现象。模型构建数学表示 模型选择感兴趣的现象实验行为重复模拟

6、图4模型的类型行为重复有直接重复与间接重复之分。直接重复就是通过做各种实验性的实验来直接地重复该行为。从这些试验中收集数据并以某种方式分析数据（如统计的方法、曲线拟合的方法等），从而得出某些结论。例如，预测种群的相互作用、资源的利用以及污染的全局影响等。间接重复就是试图间接地重复该行为，可以利用诸如对力学系统进行建模的电流模拟器、风洞中缩小了尺寸的超因素飞机模型那样的缩微模型，或者试图利用计算机重复一种行为，例如计算机模拟种群的相互作用、资源的利用以及污染的全局影响或早上高峰期电梯系统的运行等。13图4所示的各种模型之间的区别只是为了易于讨论而做的，现实中一个主要的模型可以

7、从现有的模型、模拟和实验中选取若干模型作为子模型。通过对比这些类型的模型并比较它们描绘现实世界的各种能力可以提供有益的信息。模型具有以下性质：（1）保真性：模型表示现实的精确性。为了证明最大的保真性，我们会期望来自现实世界的直接观察，即使会产生某种检验的偏差和测量的误差。我们会期望实验模型具有仅次于现实的保真性，因为行为是在诸如实验室那样得到更好控制的环境下直接观察到的。由于模拟融入了间接的观察，所以进一步失去了保真性。只要构建了数学模型、简化了现实世界的条件，结果就会失去更多的保真性。最后，任何选择的模型都是基于