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1、大学如何学好微积分学好微积分1重要性西方分析权威R.柯朗说:"微积分,或者数学分析,是人类思维的伟大成果之一.它处于自然科学与人文科学之间的地位,使它成为高等教育的一种特别有效的工具.遗憾的是,微积分的教学方法有时流于机械,不能体现出这门学科乃是撼人心灵的智力奋斗的结晶;这种奋斗已经历两千五百多年之久,它深深扎根于人类活动的许多领域,并且,只要人们认识自己和认识自然的努力一日不止,这种奋斗就将继续不已."微积分是人类智力的伟大结晶.它给出一整套的科学方法,开创了科学的新纪元,并因此加强与加深了数学的作用.恩格斯说:"在一切理论
2、成就中,未必再有什么像17世纪下半叶微积分的发现那样被看作人类精神的最高胜利了.如果在某个地方我们看到人类精神的纯粹的和唯一的功绩,那就正是在这里."有了微积分,人类才有能力把握运动和过程.有了微积分,就有了工业革命,有了大工业生产,也就有了现代化的社会.航天飞机,宇宙飞船等现代化交通工具都是微积分的直接后果.从此,数学一下子走到了前台.数学在人类社会的第二次浪潮中的作用比第一次浪潮要明显多了.微积分已成为现代人的基本素养之一,微积分将教会你在运动和变化中把握世界,它具有将复杂问题化归为简单规律和算法的能力.没有微积分很难理解
3、现代社会正在发生的变化,很难跟上时代的脚步.微积分使人类第一次有了如此强大的工具,它使得局部与整体,微观与宏观,过程与状态,瞬间与阶段的联系更加明确.使我们既可以居高临下,从整体角度考虑问题,又可以析理入微,从微分角度考虑问题.微分学研究的是瞬间,如瞬时速度,瞬时变化率,都是瞬间的事情.而积分学研究的是整体的性质,如求体积,面积,质量和转动惯量等.解决实际问题需将微分学与积分学结合在一起.常常是这样,通过瞬间列出微分方程,然后借助积分求解,回到整体.2牛顿革命牛顿把他的书定名为《自然哲学的数学原理》,目的在于向世人昭示他将原理
4、数学化的过程,即他构造了一种自然哲学,而不是一般的哲学.牛顿的《自然哲学的数学原理》,不仅在原理的发展上,在命题的证明和应用上是数学的,而且它在将数学应用于自然哲学上提出了富有意义的新方法.牛顿引出了四个革命:数学革命.微积分整个地改变了数学研究的内容和方向,有了微积分人们才会处理运动和变化.由此,变量数学开始占统治地位.科学革命.把数学应用于物理学与天文学上,引起了一场科学革命,并为其后的工业革命奠定了基础.世界面貌由此发生迅速而巨大的变化,世界政治格局也发生巨大变化.英国,一个处于世界边缘的小小岛国,居然成了世界上第一强国
5、达200年之久.牛顿革命也存在一种巨大的意识形态成分.1980年,Berlin,Isaiah对牛顿的影响作了如下总结:牛顿的思想影响是巨大的;不管这些思想是否被正确地理解.整个启蒙运动的纲领(尤其是在法国)是自觉地建立在牛顿的原理和方法的基础上的.并且从牛顿的辉煌成就派生出启蒙运动的信心及其广泛的影响.这后来转变为—的确,大大地创造了—西方现代文化.道德,政治,技术,历史,社会等等的某些中心概念和发展方向,没有哪一个思想和生活领域能够逃脱这种文化转变的影响.在哲学上引出了"决定论"的世界观.那就是,大自然有规律,我们能够发现它
6、们.对这一世界观表达最清楚的是数学家拉普拉斯.在他的《概率的哲学导论》中,他雄辩地指出,"假设有一位智者,在任意给定的时刻,他都能洞见所有支配自然界的力和组成自然界的存在物的相互位置,假使这一智者的智慧巨大到足以使自然界的数据得到分析,他就能将宇宙中最大的天体和最小的原子的运动统统纳入单一的公式之中,那么,对这样的智者来说,没有什么是不能确定的,未来同过去一样都历历在目".这一世界观直到混沌学诞生之后才得以打破.促使微积分产生的主要因素当代著名数学家哈尔莫斯说,问题是数学的心脏.那么促使微积分产生的主要问题是什么呢微积分的创立
7、首先是为了处理下列四类问题.1)已知物体运动的路程与时间的关系,求物体在任意时刻的速度和加速度.反过来,已知物体运动的加速度与速度,求物体在任意时刻的速度与路程.困难在于17世纪所涉及的速度和加速度每时每刻都在变化.计算平均速度可用运动的时间去除运动的距离.但对瞬时速度,运动的距离和时间都是0,这就碰到了0/0的问题.这是人类第一次碰到这样微妙而费解的问题.2)求曲线的切线.这是一个纯几何的问题,但对于科学应用具有重大意义.例如在光学中,透镜的设计就用到曲线的切线和法线的知识.在运动中也遇到曲线的切线问题.运动物体在它的轨迹上
8、任一点处的运动方向,是轨迹的切线方向.实际上,'切线'本身的意义也是没有解决的问题.对于圆锥曲线,把切线定义为和曲线只接触一点而且位于曲线一边的直线就足够了;这个定义古希腊人已经知道.但是对于17世纪所用的比较复杂的曲线,它就不适用了.怎样定义切线,怎样求出切线?这是新时代面
