如何学好微积分(中英)

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1、作者：来源：Calculus A(I)                          什么是微积分？      微积分的起源可追溯至17世纪，当时牛顿和莱布尼兹独立地解决了以下两个重要的问题： 切线问题：给定一个函数f和函数图形y=f(x)上的一点P，这个问题是要求一条和y=f(x)“局部分享恰于点P”的直线的方程式。这条线称为在P点的切线。  面积问题：给定一个定义在[a,b]上的非负函数，这个问题是要计算在由函数图形y=f(x)，x轴，x=a以及x=b所围出区域的面积。      这两个问题的解答可以利用下述的方式逼近：对于切线问题，在函数图形上选择异于P点

2、而非常接近P点的另一点Q，然后计算通过P点和Q点的直线方程式(这很简单)，这条线就会非常接近我们想要的切线；对于面积问题，可以在考虑的区域内接有限个长方形，当长方形的个数够多时，这些长方形的面积和(这计算也不太困难)将会非常接近我们想要计算的面积。      现在，我们明确地知道要如何得到这两个问题的解答：对于切线问题，让Q愈来愈接近P；对于面积问题，让内接的长方形个数愈来愈多，直到能填满这个区域。      这就是牛顿和莱布尼兹的成就，他们对于上述的问题给出精确的数学意义，进而解决了问题。他们的答案在数学的发展上有着巨大的冲击。切线问题的解答导致了微分理论的发展；

3、而面积问题导致了积分理论的发展。这两个理论，和它们的延伸及应用被统称为微积分。      更广泛地说，微积分的发展可以被视为近代数学的发展起源。 如何学好微积分？      学数学绝不容易！欧几里德的名言－「几何学里没有王者之路」（There is no other Royal path which leads to geometry），意即学习几何学没有捷径，当然有关数学的所有领域，也必是如此。然而，倘若你能对学习数学，抱持着高度的兴趣和热情的心，相信很多困难将迎刃而解。以下提供一些关于如何学习微积分的具体建议。      试着自己解题。学数学唯一的好方法是由「做

4、」中学。由于解题时，你必须把学过的理论再重新思考过一次，这个过程会让你学到如何从不同的角度来看这些理论，也会帮助你发现先前所忽略的东西。所以，尽可能多试着先由自己来解题。      解复杂习题时和其他同学一起努力。在十七、十八世纪时的数学家，他们的研究多半是单打独斗的成果；反观今日，有蛮大比例的研究是靠团队合作而产生的结果，团队合作的好处是让思考能够更加周全。当你遇到复杂的习题无法自己算出答案时，建议你可和其他同学一起讨论，一群人的脑力激荡可能会促使你想出自己一个人孤军奋斗时所没有办法想到的点子。      和其他同学或老师一起讨论课程内容。每个人都有自己习惯的看事

5、情方式，往往一不小心就会落入盲点而不自知。所以，即便你认为你已经了解课程内容，建议你还是应该多和其他同学或是老师共同讨论；这样一来，你才能察觉你忽略的小细节，或者一些你根本没有考虑到的层面。      课堂上要勇于发问。上课时，如果你有任何疑问，应该立即发问。因为你的问题，有可能正好就是其他同学不敢问的问题；也有可能是在座所有的人(包括老师)都还没考虑到的问题。课堂上发问，不仅能对自己也是对全班同学的莫大帮助。一个活泼生动的学习环境，不单是只靠老师来营造，也需要同学们的参与，老师们都很希望也很重视同学们在课堂上能够有更主动的表现。相信这样互动的学习过程，一定能让你在

6、学习微积分上有更多的收获。 为什么要学微积分？      或许你对微积分不是那么有兴趣，或许你来这里，是想学一些跟微积分无直接相关的知识，关于学习微积分，你的心中一定有很多疑惑。但是，问「为什么要学微积分？」，其实就好像问「为什么要学数学？」是一样的意思。怎么说呢？因为微积分是现代数学的发展起点，主修科学相关领域的学生就必须打好这个数学基础，我用下面两个主要的理由来说明。      数学是科学的语言！想想看，如果你到了一个陌生的国家却不会说当地的语言。当然，你可以完全不学或只学你需要用到的几个字就能舒服地在那里生活好几年。可是，这样会限制你的生活，限制你对所处环境的

7、了解，当然也会限制你的自我发展。在你不用心去学习当地语言前，你将永远无法一窥这个环境的全貌，许多应该属于你的机会可能在你浑然不知的状况下悄悄溜走。科学的学习状况和这个例子很类似，或许你可以只学习一小部分的数学，就能满足获得某个领域知识的需求；但是没有好好学数学，你所获得部分还是有所局限的，因为你将无法了解更广更深的部份。书到用时方恨少，数学亦然！      数学训练逻辑思考！这点十分重要。逻辑思考的能力不管它是不是与生俱有的，但很确定的一点是，它是可以被训练的，方法之一就是透过学习数学。数学解题会教你如何接近问题、学到如何抽丝剥茧地看出问题的关键、问出适切的问题